Questão 4. Quanto à convergência das séries
(a)
,
(b)
(c)
,
é correto afirmar que:
A Somente (a) não converge.
B Somente (c) não converge.
C Somente (b) não converge.
D Somente (b) converge.
E Somente (c) converge.
O Somente (a) converge.
(a)
(b)
(c)
é correto afirmar que:
A Somente (a) não converge.
B Somente (c) não converge.
C Somente (b) não converge.
D Somente (b) converge.
E Somente (c) converge.
O Somente (a) converge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência de três séries infinitas:
(a) ,
(b) ,
(c) .
Para isso vamos usar o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste de integral (ou condensação de Cauchy) para verificar convergência absoluta ou simples.
(a)
(b)
(c)
Para isso vamos usar o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste de integral (ou condensação de Cauchy) para verificar convergência absoluta ou simples.
Passo 2
Analisando a série (a):
=
é positivo, tende a zero quando
(porque
) e é monótonamente decrescente para
grande (já que
decresce). Assim pelo critério de Leibniz a série
converge condicionalmente (não converge absolutamente pois
diverge).
Passo 3
Analisando a série (b):
=
é positivo, tende a zero
e é monótono decrescente para
. Pelo critério de Leibniz a série
também converge condicionalmente. Não há convergência absoluta porque
diverge (teste da integral ou condensação).
Passo 4
Analisando a série (c):
então a série vira
Isso é uma série de termos positivos que não vão a zero rápido o suficiente. Pelo teste da integral
ou pela condensação de Cauchy, conclui-se que
diverge.
Passo 5
Das análises acima: (a) converge, (b) converge e (c) diverge. Portanto a única que não converge é (c).
Resposta
B Somente (c) não converge.