Questão 4. Quanto à convergência das séries
(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right),
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n+1)}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n}}{\ln (n+1)},
é correto afirmar que:
A Somente (a) não converge.
B Somente (c) não converge.
C Somente (b) não converge.
D Somente (b) converge.
E Somente (c) converge.
O Somente (a) converge.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência de três séries infinitas:
(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\sin\bigl(1/n\bigr),
(b) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n+1)},
(c) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n}}{\ln(n+1)}.
Para isso vamos usar o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste de integral (ou condensação de Cauchy) para verificar convergência absoluta ou simples.

Passo 2

Analisando a série (a):
a_n = \sin(1/n) é positivo, tende a zero quando n\to\infty (porque \sin(1/n)\sim1/n) e é monótonamente decrescente para n grande (já que 1/n decresce). Assim pelo critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\sin\bigl(1/n\bigr)
converge condicionalmente (não converge absolutamente pois \sum\sin(1/n)\sim\sum1/n diverge).

Passo 3

Analisando a série (b):
a_n = 1/\ln(n+1) é positivo, tende a zero \ln(n+1)\to\infty e é monótono decrescente para n\ge1. Pelo critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n+1)}
também converge condicionalmente. Não há convergência absoluta porque \sum1/\ln(n+1) diverge (teste da integral ou condensação).

Passo 4

Analisando a série (c):
(-1)^{2n}=1,
então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}.
Isso é uma série de termos positivos que não vão a zero rápido o suficiente. Pelo teste da integral
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\ln x}=\infty,
ou pela condensação de Cauchy, conclui-se que \sum1/\ln(n+1) diverge.

Passo 5

Das análises acima: (a) converge, (b) converge e (c) diverge. Portanto a única que não converge é (c).

Resposta

B Somente (c) não converge.

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