Questão 2. Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{p} \frac{n!}{n^{n}}
onde p \in \mathbb{R}. Quanto a sua convergência, é possível afirmar que:
(1)
A série converge para todo p \in \mathbb{R}.
A série diverge para todo p \in \mathbb{R}.
C A série converge se, e somente se, p>0.
D A série diverge se, e somente se, p \geq 1.
E A série converge se, e somente se, p \leq 1.
F A série converge se, e somente se, p<0.

Passo 1

O enunciado considera a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{p} \frac{n!}{n^{n}}
onde p\in\mathbb{R}, e pede em função de p seu comportamento de convergência. Para isso, vamos aplicar o teste da razão, que é indicado quando a série tem fatorial e potências.

Passo 2

Defina o termo geral
a_{n} = n^{p} \frac{n!}{n^{n}}.
Para o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{p}\,\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{n^{p}\,\frac{n!}{n^{n}}}.

Passo 3

Simplificando a razão, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{p}}{n^{p}} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p} \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p-n}.

Passo 4

Agora tomamos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p-n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{p}\, \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{-n} = 1\cdot e^{-1} = \frac{1}{e}.

Passo 5

Como \tfrac{1}{e}<1, o teste da razão garante convergência absoluta da série, independentemente de p. Logo, a série converge para todo p\in\mathbb{R}.

Resposta

A
A série converge para todo p\in\mathbb{R}.

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