Questão 4 (2pts): O campo elétrico gerado por um dipolo elétrico é dado por:
\vec{E}(R, \theta)=\hat{R} \frac{A}{R^{3}} \cos \theta+\hat{\theta} \frac{B}{R^{3}} \sin \theta
Determine a diferença de potencial entre os pontos: P_{1}(1, \pi, 0) e P_{1}(2, \pi, 0);
Obs: R e \theta são as variáveis radial e o zênite, no sistema de coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de um dipolo em coordenadas esféricas
\vec{E}(R,\theta)=\hat{R}\,\frac{A}{R^{3}}\cos\theta \;+\;\hat{\theta}\,\frac{B}{R^{3}}\sin\theta
e pede a diferença de potencial entre os pontos
P_{1}:(R=1,\theta=\pi,\varphi=0) e P_{2}:(R=2,\theta=\pi,\varphi=0).
Vamos usar a relação entre campo e potencial
V(P_{2})-V(P_{1})=-\int_{P_{1}}^{P_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}\,.

Passo 2

Como P_{1} e P_{2} têm o mesmo ângulo \theta=\pi e mesma \varphi, podemos integrar ao longo de uma linha radial ( d\theta=0, d\varphi=0), em que
d\vec{\ell}=dR\,\hat{R} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E}\cdot d\vec{\ell} =E_{R}\,dR =\frac{A}{R^{3}}\cos\theta\,dR.

Passo 3

Substituindo em
V(P_{2})-V(P_{1}) =-\int_{R=1}^{R=2}\frac{A}{R^{3}}\cos\theta\,dR
note que em \theta=\pi temos \cos\theta=\cos\pi=-1. Logo
V(P_{2})-V(P_{1}) =-\int_{1}^{2}\frac{A}{R^{3}}(-1)\,dR =A\int_{1}^{2}R^{-3}\,dR.

Passo 4

Calcule a integral:
\int R^{-3}\,dR =-\frac{1}{2R^{2}} \quad\Longrightarrow\quad A\Bigl[-\tfrac{1}{2R^{2}}\Bigr]_{1}^{2} =A\Bigl(-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}\Bigr) =A\cdot\tfrac{3}{8}.
Portanto
V(P_{2})-V(P_{1})=\frac{3A}{8}.

Resposta

V(2,\pi,0)-V(1,\pi,0)=\frac{3A}{8}.

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