Questão 4 (2pts): O campo elétrico gerado por um dipolo elétrico é dado por:
\vec{E}(R, \theta)=\hat{R} \frac{A}{R^{3}} \cos \theta+\hat{\theta} \frac{B}{R^{3}} \sin \theta
Determine a diferença de potencial entre os pontos: P_{1}(1, \pi / 2,0) e P_{1}(1,3 \pi / 2,0);
Obs: R e \theta são as variáveis radial e o zênite, no sistema de coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de um dipolo em coordenadas esféricas
\vec{E}(R,\theta)=\hat{R}\,\frac{A}{R^{3}}\cos\theta \;+\;\hat{\theta}\,\frac{B}{R^{3}}\sin\theta
e pede a diferença de potencial entre os pontos
P_{1}:(R=1,\theta=\tfrac\pi2,\varphi=0) e
P_{2}:(R=1,\theta=\tfrac{3\pi}2,\varphi=0).
O conteúdo envolvido é a relação entre campo elétrico e potencial,
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}\,.

Passo 2

Como o campo de dipolo é conservativo (válido para todo espaço exceto na origem), a integral de linha independe do caminho.
Escolhemos o caminho em que R fica constante igual a 1, de modo que d\vec{\ell}=R\,d\theta\,\hat\theta e dR=0.

Passo 3

Nesse caminho
\vec{E}\cdot d\vec{\ell} =E_{\theta}\,(R\,d\theta) =\frac{B}{R^{3}}\sin\theta\;(R\,d\theta) =\frac{B}{R^{2}}\sin\theta\,d\theta.
Para R=1 isso vira \,B\sin\theta\,d\theta.
Logo,
V(P_{2})-V(P_{1}) =-\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}B\sin\theta\,d\theta
com \theta_{1}=\tfrac\pi2 e \theta_{2}=\tfrac{3\pi}2.

Passo 4

Calculamos a integral:
-\int_{\pi/2}^{3\pi/2}B\sin\theta\,d\theta =-B\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta=\pi/2}^{\theta=3\pi/2} =-B\bigl(-\cos\tfrac{3\pi}{2}+\cos\tfrac\pi2\bigr).
Como \cos\tfrac\pi2=0 e \cos\tfrac{3\pi}{2}=0, obtemos
V(P_{2})-V(P_{1})=-B\,(0-0)=0.

Resposta

A diferença de potencial entre P_{1} e P_{2} é zero.

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