(1,5 pts) Encontre a expressão para T\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) para toda matrix \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}).
( \mathbf{1 , 5} pts) Determine explicitamente os conjuntos \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear \;T:\mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_{2}[x]
cuja ação está dada em quatro matrizes específicas. Precisamos usar a linearidade de T para:
obter uma fórmula geral para \;T\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr),
\ker(T)\) são as matrizes que vão em zero, isto é, fazem anular todos os três coeficientes:
\[\begin{cases} \tfrac12b+4c-\tfrac72d=0,\\\\ -a-2c+\tfrac32d=0,\\\\ 2a-\tfrac12b+\tfrac12d=0. \end{cases}
Multiplicando por 2 e resolvendo, obtemos
b=7d-8c, \quad a=\frac{3d-4c}2,
com (c,d\in\mathbb R] livres. Logo \ker(T) =\Bigl\{\begin{pmatrix}\tfrac{3d-4c}2&7d-8c\c&d\end{pmatrix} \Bigm|c,d\in\mathbb R\Bigr\}.
Passo 5
\Im(T) é gerado pelos vetores T(E_{11})=2-x e T(E_{12})=\tfrac12x^2-\tfrac12.
Note-se que