Questão 2: Seja T: \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{P}_{2}[x] a transformação linear que satisfaz:
T\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)=2-x, \quad T\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)=x^{2}-1, \quad T\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0 \end{array}\right)=2 x^{2}-x, \quad T\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \end{array}\right)=2 x^{2}-3 x+4
  1. (1,5 pts) Encontre a expressão para T\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) para toda matrix \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}).
  2. ( \mathbf{1 , 5} pts) Determine explicitamente os conjuntos \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \;T:\mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_{2}[x]
cuja ação está dada em quatro matrizes específicas. Precisamos usar a linearidade de T para:
  1. obter uma fórmula geral para \;T\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr),
  2. determinar \ker(T) e \Im(T).

Passo 2

Vamos começar encontrando T sobre a base canônica
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Usando os valores dados e a linearidade:
1.
Pela definição \;T(E_{11})=2-x. 2.
Como \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix}=2E_{12},
T(E_{12}) =\frac12\,T\!\Bigl(\begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix}\Bigr) =\frac12(x^2-1) =\frac12\,x^2-\frac12.
3.
Como \begin{pmatrix}0&0\\tfrac12&0\end{pmatrix}=\tfrac12E_{21},
T(E_{21}) =2\,T\!\Bigl(\begin{pmatrix}0&0\\tfrac12&0\end{pmatrix}\Bigr) =2(2x^2-x) =4x^2-2x.
4.
Observando \begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix} =2(E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}),
temos
E_{22} =\tfrac12\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix} -E_{11}-E_{12}-E_{21},
então
T(E_{22}) =\tfrac12(2x^2-3x+4) -(2-x) -\Bigl(\tfrac12x^2-\tfrac12\Bigr) -(4x^2-2x) =-\tfrac72\,x^2+\tfrac32\,x+\tfrac12.

Passo 3

Para uma matriz genérica \;M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
a linearidade dá
T(M) =a\,T(E_{11})+b\,T(E_{12})+c\,T(E_{21})+d\,T(E_{22}).
Agrupando coeficientes de x^2, x e termo constante, chega-se a
T\!\Bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\Bigr) =\Bigl(\tfrac12b+4c-\tfrac72d\Bigr)x^2 +\Bigl(-a-2c+\tfrac32d\Bigr)x +\Bigl(2a-\tfrac12b+\tfrac12d\Bigr).

Passo 4

\ker(T)\) são as matrizes que vão em zero, isto é, fazem anular todos os três coeficientes: \[\begin{cases} \tfrac12b+4c-\tfrac72d=0,\\\\ -a-2c+\tfrac32d=0,\\\\ 2a-\tfrac12b+\tfrac12d=0. \end{cases}
Multiplicando por 2 e resolvendo, obtemos
b=7d-8c, \quad a=\frac{3d-4c}2,
com (c,d\in\mathbb R] livres. Logo
\ker(T) =\Bigl\{\begin{pmatrix}\tfrac{3d-4c}2&7d-8c\c&d\end{pmatrix} \Bigm|c,d\in\mathbb R\Bigr\}.

Passo 5

\Im(T) é gerado pelos vetores T(E_{11})=2-x e T(E_{12})=\tfrac12x^2-\tfrac12.
Note-se que
T(E_{21})=2\,T(E_{11})+8\,T(E_{12}),
logo já está no span desses dois. Concluímos
\Im(T) =\mathrm{span}\{\,2-x,\;x^2-1\} =\{\alpha(2-x)+\beta(x^2-1)\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}.

Resposta

Tendo \;M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
T(M) =\bigl(\tfrac12b+4c-\tfrac72d\bigr)x^2 +\bigl(-a-2c+\tfrac32d\bigr)x +\bigl(2a-\tfrac12b+\tfrac12d\bigr). (\displaystyle
\ker(T)
=\Bigl{ \begin{pmatrix}\frac{3d-4c}2&7d-8c\c&d\end{pmatrix}\Bigm|c,d\in\mathbb R\Bigr},
\displaystyle
\Im(T)
=\mathrm{span}{2-x,;x^2-1}.
)

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