Questão 1: ( \mathbf{2 . 0} pts) Considere o subconjunto \mathcal{W} das matrizes em \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) definido como
\mathcal{W}=\left\{\left.\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\\ b & d & e \\\ c & e & f \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}\right\}
  1. ( \mathbf{1} \mathbf{p t} ) Prove que \mathcal{W} é um subespaço vetorial de \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}).
  2. ( \mathbf{1} pt) Considere o subespaço vetorial \mathcal{R} de \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}), definido por
\mathcal{R}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} 0 & -r & -p \\\ r & 0 & -s \\\ p & s & 0 \end{array}\right) \right\rvert\, p, r, s \in \mathbb{R}\right\}
Determinar explicitamente os subespaços \mathcal{W} \cap \mathcal{R} e \mathcal{W}+\mathcal{R}. Além disso, determinar se o subespaço \mathcal{W}+\mathcal{R} é soma direta. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
\mathcal{W}=\Bigl\{\begin{pmatrix} a & b & c\\\ b & d & e\\\ c & e & f \end{pmatrix}\Bigm|a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}\Bigr\}
e
\mathcal{R}=\Bigl\{\begin{pmatrix} 0 & -r & -p\\\ r & 0 & -s\\\ p & s & 0 \end{pmatrix}\Bigm|p,r,s\in\mathbb{R}\Bigr\}\,.
Precisamos (i) mostrar que \mathcal{W} é subespaço de M_{3\times3}(\mathbb{R}), (ii) encontrar \mathcal{W}\cap\mathcal{R} e \mathcal{W}+\mathcal{R} e (iii) verificar se \mathcal{W}+\mathcal{R} é soma direta.

Passo 2

Para mostrar que \mathcal{W} é subespaço, usamos o teste padrão:
  1. O elemento nulo 0_{3\times3} tem todas as entradas zero, logo é da forma simétrica com a=b=c=d=e=f=0, isto é, 0_{3\times3}\in\mathcal{W}.
  2. Se
A=\begin{pmatrix}a&b&c\b&d&e\c&e&f\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a'&b'&c'\b'&d'&e'\c'&e'&f'\end{pmatrix}
estão em \mathcal{W}, então
A+B =\begin{pmatrix}a+a'&b+b'&c+c'\b+b'&d+d'&e+e'\c+c'&e+e'&f+f'\end{pmatrix}
é novamente simétrico, logo A+B\in\mathcal{W}.
3. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda A =\begin{pmatrix}\lambda a&\lambda b&\lambda c\\lambda b&\lambda d&\lambda e\\lambda c&\lambda e&\lambda f\end{pmatrix}
continua simétrico, logo \lambda A\in\mathcal{W}.
Como \mathcal{W} contém 0 e é estável em soma e escalar, concluímos que \mathcal{W} é subespaço.

Passo 3

Para achar \mathcal{W}\cap\mathcal{R} note que se
A\in\mathcal{W}\cap\mathcal{R}
então A é ao mesmo tempo simétrica A^T=A e anti-simétrica A^T=-A. Daí
A = A^T = -A \quad\Longrightarrow\quad 2A = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = 0_{3\times3}\,.
Logo
\mathcal{W}\cap\mathcal{R}=\{0_{3\times3}\}.

Passo 4

Para achar \mathcal{W}+\mathcal{R} mostramos que todo X\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) se escreve como soma de uma parte simétrica e uma parte anti-simétrica:
S=\frac12\bigl(X+X^T\bigr)\in\mathcal{W}, \qquad K=\frac12\bigl(X-X^T\bigr)\in\mathcal{R},
e claramente X=S+K. Assim
\mathcal{W}+\mathcal{R} =\{S+K\mid S\in\mathcal{W},\,K\in\mathcal{R}\} =M_{3\times3}(\mathbb{R}).

Passo 5

Como já vimos que \mathcal{W}\cap\mathcal{R}=\{0\}, a soma \mathcal{W}+\mathcal{R} é direta. Em particular
M_{3\times3}(\mathbb{R}) =\mathcal{W}\oplus\mathcal{R}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{W}\cap\mathcal{R}=\{0_{3\times3}\}, \displaystyle \mathcal{W}+\mathcal{R}=M_{3\times3}(\mathbb{R}),
e a soma \mathcal{W}+\mathcal{R} é direta.

Exercícios relacionados