Questão 1 [3,0 pontos] Os pontos
e
são os vértices de um quadrado de lados consecutivos
e
. Sabendo que a origem
encontra-se no interior do quadrado, use essas informações para responder as seguintes questões.
(a)
ponto] Encontre as coordenadas dos vértices
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado onde os vértices consecutivos são
e
. A origem
está dentro desse quadrado. A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especialmente sobre quadrados no plano cartesiano. Precisamos encontrar as coordenadas dos outros dois vértices,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos. Sabemos que
e
são dois vértices consecutivos do quadrado. Isso significa que o lado
é um dos lados do quadrado. Vamos calcular o vetor
para entender a direção desse lado.
O vetor
é dado por:
Passo 3
Agora, como estamos lidando com um quadrado, o próximo lado
deve ser perpendicular a
e ter o mesmo comprimento. Para achar a direção de
, precisamos encontrar um vetor perpendicular a
.
Um vetor perpendicular a
é
. Então, um vetor perpendicular a
é
.
Passo 4
Sabendo que
tem a mesma magnitude que
, vamos verificar isso. O comprimento de
é:
O vetor
tem comprimento:
Então, está tudo certo!
Passo 5
Agora, para encontrar as coordenadas de
, somamos o vetor
às coordenadas de
:
Passo 6
Para encontrar
, sabemos que
está ligado a
e deve estar na mesma direção que
em relação a
. Podemos achar
usando o fato de que
também é perpendicular a
e tem o mesmo comprimento.
Outra maneira é perceber que os quatro vértices formam um quadrado, então
está na posição que completa o quadrado. Portanto:
Mas já encontramos
, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Na verdade, para encontrar
, devemos usar que
é
perpendicular a
:
Então,
Resposta
As coordenadas dos vértices são
e
.