Questão 1 [3,0 pontos] Os pontos A=(-2,0), B=(0,-4), C e D são os vértices de um quadrado de lados consecutivos A B e BC. Sabendo que a origem O=(0,0) encontra-se no interior do quadrado, use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto] Encontre as coordenadas dos vértices C e D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado onde os vértices consecutivos são A(-2, 0) e B(0, -4) . A origem O(0, 0) está dentro desse quadrado. A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especialmente sobre quadrados no plano cartesiano. Precisamos encontrar as coordenadas dos outros dois vértices, C e D .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos. Sabemos que A e B são dois vértices consecutivos do quadrado. Isso significa que o lado AB é um dos lados do quadrado. Vamos calcular o vetor AB para entender a direção desse lado.
O vetor AB é dado por:
AB = B - A = (0 - (-2), -4 - 0) = (2, -4)

Passo 3

Agora, como estamos lidando com um quadrado, o próximo lado BC deve ser perpendicular a AB e ter o mesmo comprimento. Para achar a direção de BC , precisamos encontrar um vetor perpendicular a AB .
Um vetor perpendicular a (a, b) é (-b, a) . Então, um vetor perpendicular a AB = (2, -4) é (4, 2) .

Passo 4

Sabendo que BC tem a mesma magnitude que AB , vamos verificar isso. O comprimento de AB é:
|AB| = raiz2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
O vetor BC = (4, 2) tem comprimento:
|BC| = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5
Então, está tudo certo!

Passo 5

Agora, para encontrar as coordenadas de C , somamos o vetor BC às coordenadas de B :
C = B + BC = (0, -4) + (4, 2) = (4, -2)

Passo 6

Para encontrar D , sabemos que D está ligado a A e deve estar na mesma direção que C em relação a B . Podemos achar D usando o fato de que AD também é perpendicular a AB e tem o mesmo comprimento.
Outra maneira é perceber que os quatro vértices formam um quadrado, então D está na posição que completa o quadrado. Portanto:
D = A + AD = A + AB + BC = (-2, 0) + (2, -4) + (4, 2) = (4, -2)
Mas já encontramos C = (4, -2) , então precisamos ajustar nossa abordagem.
Na verdade, para encontrar D , devemos usar que D é AD perpendicular a AB :
AD = (-4, -2)
Então,
D = A + AD = (-2, 0) + (-4, -2) = (-6, -2)

Resposta

As coordenadas dos vértices são C = (4, -2) e D = (-6, -2) .

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