Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores
e
tais que
e
os quais formam entre eles o ângulo de
. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(a) [1 ponto] Encontre o valor de
.
(a) [1 ponto] Encontre o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores
e
com magnitudes (ou normas) de 2 e 3, respectivamente, e que o ângulo entre eles é
. O conteúdo aqui envolve produto interno (também conhecido como produto escalar) e trigonometria básica. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto interno entre dois vetores usando suas magnitudes e o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do produto interno. O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Onde:
-
é a norma (ou comprimento) do vetor , -
é a norma do vetor , -
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula. Sabemos que:
-
, -
, -
.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Precisamos calcular o valor de
. Sabemos que:
Isso porque
está no segundo quadrante do círculo trigonométrico, onde o cosseno é negativo.
Passo 5
Agora, vamos substituir
por
na equação:
Calculando passo a passo:
Resposta
O valor de
é
.