Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores u e v tais que |u|=2 e |v|=3 os quais formam entre eles o ângulo de 2 pi3. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(a) [1 ponto] Encontre o valor de lang<=u, vrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores u e v com magnitudes (ou normas) de 2 e 3, respectivamente, e que o ângulo entre eles é 2pi3. O conteúdo aqui envolve produto interno (também conhecido como produto escalar) e trigonometria básica. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto interno entre dois vetores usando suas magnitudes e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do produto interno. O produto interno entre dois vetores u e v é dado por:
lang<= u, v rang<= = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • |u| é a norma (ou comprimento) do vetor u,
  • |v| é a norma do vetor v,
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula. Sabemos que:
  • |u| = 2,
  • |v| = 3,
  • theta = 2pi3.
Então, substituindo na fórmula:
lang<= u, v rang<= = 2 cdot 3 cdot cos(2pi3)

Passo 4

Precisamos calcular o valor de cos(2pi3). Sabemos que:
cos(2pi3) = -12
Isso porque 2pi3 está no segundo quadrante do círculo trigonométrico, onde o cosseno é negativo.

Passo 5

Agora, vamos substituir cos(2pi3) por -12 na equação:
lang<= u, v rang<= = 2 cdot 3 cdot (-12)
Calculando passo a passo:
2 cdot 3 = 6
6 cdot (-12) = -3

Resposta

O valor de lang<= u, v rang<= é -3.

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