Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores
e
tais que
e
os quais formam entre eles o ângulo de
. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(b)
ponto] Encontre o valor de
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, com magnitudes
e
. O ângulo entre eles é de
radianos. Nosso objetivo aqui é encontrar a magnitude do vetor resultante da soma desses dois vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno e algumas propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude da soma de dois vetores usando o produto interno. A fórmula que vamos utilizar é:
Isso significa que a magnitude ao quadrado da soma dos vetores é igual à soma das magnitudes ao quadrado dos vetores individuais mais duas vezes o produto interno entre eles.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto interno
. A definição do produto interno entre dois vetores também envolve o cosseno do ângulo entre eles:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Sabemos que
, então vamos calcular o cosseno desse ângulo.
Passo 4
O cosseno de
radianos é:
Agora, substituímos os valores na fórmula do produto interno:
Passo 5
Com o produto interno calculado, vamos voltar à fórmula da magnitude da soma dos vetores:
Agora, para encontrar a magnitude
, tiramos a raiz quadrada de 7:
Resposta
A magnitude da soma dos vetores é
.