Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores u e v tais que |u|=2 e |v|=3 os quais formam entre eles o ângulo de 2 pi3. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(b) [1 ponto] Encontre o valor de |u+v|.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = 2 e |v| = 3. O ângulo entre eles é de 2pi3 radianos. Nosso objetivo aqui é encontrar a magnitude do vetor resultante da soma desses dois vetores, ou seja, |u + v|. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno e algumas propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude da soma de dois vetores usando o produto interno. A fórmula que vamos utilizar é:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2 cdot (u cdot v)
Isso significa que a magnitude ao quadrado da soma dos vetores é igual à soma das magnitudes ao quadrado dos vetores individuais mais duas vezes o produto interno entre eles.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto interno u cdot v. A definição do produto interno entre dois vetores também envolve o cosseno do ângulo entre eles:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Sabemos que theta = 2pi3, então vamos calcular o cosseno desse ângulo.

Passo 4

O cosseno de 2pi3 radianos é:
cos(2pi3) = -12
Agora, substituímos os valores na fórmula do produto interno:
u cdot v = 2 cdot 3 cdot (-12) = 2 cdot 3 cdot -0.5 = -3

Passo 5

Com o produto interno calculado, vamos voltar à fórmula da magnitude da soma dos vetores:
|u + v|^2 = 2^2 + 3^2 + 2 cdot (-3) = 4 + 9 - 6 = 7
Agora, para encontrar a magnitude |u + v|, tiramos a raiz quadrada de 7:
|u + v| = raiz7

Resposta

A magnitude da soma dos vetores é raiz7.

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