Questão 1 [3,5 pontos] Sejam A, B e C pontos no plano tais que \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(8,2) e \overrightarrow{B C}=(2,2). Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto ] Encontre as coordenadas dos vetores \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A B}.
(b) [1,0 ponto ] Calcule a área do triângulo A B C.
(c) [1,0 ponto ] Calcule o valor do cosseno do ângulo interno no vértice A do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos A,B,C no plano com as informações vetoriais \vec{AB}+\vec{AC}=(8,2) \vec{BC}=(2,2)
Pede-se: (a) as coordenadas de \vec{AC} e \vec{AB}, (b) a área do triângulo ABC, (c) o cosseno do ângulo no vértice A. Usaremos operações vetoriais, determinante para área e produto interno para o cosseno.

Passo 2

De \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB} e \vec{AB}+\vec{AC}=(8,2) somamos as duas equações:
2\vec{AC} = (8,2) + (2,2) = (10,4),
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\vec{AC} = (5,2).
Então
\vec{AB} = (8,2) - \vec{AC} = (8,2) - (5,2) = (3,0).

Passo 3

A área do triângulo ABC é
\text{Área} = \tfrac12\bigl|\det(\vec{AB},\vec{AC})\bigr|.Á
Calculamos o determinante em 2D:
\det(\vec{AB},\vec{AC}) = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[6pt] 0 & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - 0\cdot5 = 6.
Portanto
\text{Área} = \tfrac12\cdot6 = 3.Á]

Passo 4

O cosseno do ângulo no vértice A é dado por
\cos A = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|\;\|\vec{AC}\|}.
Temos
\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3\cdot5 + 0\cdot2 = 15, \quad \|\vec{AB}\| = 3, \quad \|\vec{AC}\| = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{29}.
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\cos A = \frac{15}{3\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}.

Resposta

(a) \vec{AC}=(5,2), \vec{AB}=(3,0).
(b) 3.
(c) \dfrac{5}{\sqrt{29}}.

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