Questão 5 Considere as seguintes afirmações:
(I) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) é injetor, então T é sobrejetor.
(II) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) é tal que \operatorname{ker}(T)=\{0\}, então T é isomorfismo.
(III) Toda função entre espaços vetoriais é uma transformação linear entre espaços vetoriais.
(IV) Se T \in \mathcal{L}\left(M_{2 \times 2}\right) é tal que T\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), então \operatorname{ker}(T) \neq\{0\}
(V) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) é tal que T(1,1)=(2,1) e T(2,1)=(1,1), então \operatorname{ker}(T) \neq\{0\}.
(VI) Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) é tal que T(1,2)=(1,1) e T(2,1)=(1,1), então (-1,1) \in \operatorname{ker}(T).
(a) Dentre as afirmações I, II e III, quais são verdadeiras?
(b) Dentre as afirmações IV, Ve VI, quais são verdadeiras?
Passo 1
O enunciado traz várias afirmações sobre transformações lineares entre espaços de mesma ou diferentes dimensões e pede, em (a), quais de (I), (II) e (III) são verdadeiras, e em (b), quais de (IV), (V) e (VI) são verdadeiras. Para resolver, usaremos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), a definição de isomorfismo (injeção + sobrejeção) e propriedades básicas de transformações lineares e de kernel.
Passo 2
Analisando (I): “Se T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2) é injetor, então T é sobrejetor.”
Como \dim(\mathbb{R}^2)=2, o Teorema da Dimensão dá
\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=2.
Se T é injetora, \ker T=\{0\} e \dim(\ker T)=0, logo \dim(\Im T)=2. Como \Im T\subseteq\mathbb{R}^2 e tem dimensão 2, \Im T=\mathbb{R}^2, isto é, T é sobrejetora. Portanto (I) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (II): “Se T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3) é tal que \ker(T)=\{0\}, então T é isomorfismo.”
Aqui \dim(\mathbb{R}^2)=2 e \dim(\mathbb{R}^3)=3. Se \ker T=\{0\}, T é injetora, mas pelo Teorema da Dimensão
\dim(\Im T)=\dim(\mathbb{R}^2)-\dim(\ker T)=2.
Logo \Im T é um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3, portanto não é todo \mathbb{R}^3. Assim T não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo. (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III): “Toda função entre espaços vetoriais é uma transformação linear entre espaços vetoriais.”
Basta um contraexemplo: a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por f(x,y)=(x+1,y) não satisfaz f(0,0)=(0,0) nem linearidade, logo não é transformação linear. Logo (III) é falsa.
Passo 5
Conclusão de (a): Das afirmações I, II e III, somente (I) é verdadeira.
Passo 6
Analisando (IV): “Se T\in\mathcal{L}(M_{2\times2}) é tal que
então \ker(T)\neq\{0\}.”
Podemos escolher T como a identidade em M_{2\times2}. Então T fixa todo vetor e \ker(T)=\{0\}, contrariando a afirmação. Logo (IV) é falsa.
Passo 7
Analisando (V): “Se T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2) é tal que T(1,1)=(2,1) e T(2,1)=(1,1), então \ker(T)\neq\{0\}.”
Os vetores (1,1) e (2,1) formam base de \mathbb{R}^2 (são linearmente independentes) e suas imagens (2,1) e (1,1) também são independentes. Logo T estende-se a uma aplicação linear bijetora, de modo que \ker(T)=\{0\}. Portanto (V) é falsa.
Passo 8
Analisando (VI): “Se T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2) é tal que T(1,2)=(1,1) e T(2,1)=(1,1), então (-1,1)\in\ker(T).”
Pela linearidade,