Questão 4 Considere a transformação T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tal que
[T]_{H}^{G}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right)
com G=\{(1,0),(-1,1)\} e H=\{(0,2),(1,1)\}.
(a) Calcule T(2,3)
(b) A transformação T é isomorfismo. Justifique sua resposta em no máximo uma linha.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação à base de domínio G=\{(1,0),(-1,1)\} e à base de contradomínio H=\{(0,2),(1,1)\} é
[T]_{H}^{G} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos calcular T(2,3) e dizer se T é isomorfismo.

Passo 2

Para achar T(2,3)\) primeiro expressamos \(v=(2,3)\) em coordenadas na base \(G\). Sejam \(a,b\) tais que \[a(1,0)+b(-1,1)=(2,3).
Isso dá o sistema \begin{cases}a-b=2,\b=3,\end{cases}\] logo \(b=3 e a=5. Assim
[v]_{G}=\begin{pmatrix}5\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos a matriz de T às coordenadas em G para obter as coordenadas em H:
[T(v)]_{H} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 13\end{pmatrix}.

Passo 4

Reconstruímos o vetor T(v) na base canônica somando 3 vezes o primeiro vetor de H e 13 vezes o segundo:
T(2,3) =3\,(0,2)+13\,(1,1) =(0,6)+(13,13) =(13,19).

Passo 5

Para verificar se T é isomorfismo basta ver que
\det[T]_{H}^{G} =0\cdot1-1\cdot2=-2\neq0,
logo a matriz é invertível e T é isomorfismo.

Resposta

(a) T(2,3)=(13,19).
(b) \det[T]_{H}^{G}=-2\neq0, portanto T é isomorfismo.

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