— Questão 30. Calcule os limites abaixo (Pode ser necessário calcular os limites laterais ou usar os limites fundamentais).
lim x -1 2 x+1x^2+x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -12x+1x^2+x
O conteúdo é limites de funções que têm zero no denominador, indicando possível assíntota vertical. Como em x=-1 o denominador se anula mas o numerador não, precisamos calcular os limites laterais.

Passo 2

Note que
x^2 + x = x(x+1),
e em x=-1 temos x+1=0 enquanto 2x+1to -1neq 0. Isso dá forma “ constante/0”, que tende a infinito ou menos infinito. Para identificar o sinal, analisamos os dois lados de -1.

Passo 3

Para xto -1^-, escreva x=-1-de<a com de<a>0 pequeno.
O numerador é
2(-1-de<a)+1 = -2 -2de<a +1 = -1 -2de<a < 0
O denominador é
x(x+1) = (-1-de<a)l((-1-de<a)+1r) = (-1-de<a)(-de<a) > 0
Então
limxto -1^-2x+1x^2+x = -infty

Passo 4

Para xto -1^+, escreva x=-1+de<a com de<a>0 pequeno.
O numerador é
2(-1+de<a)+1 = -2 +2de<a +1 = -1+2de<a < 0(para (de<a) pequeno)
O denominador é
x(x+1) = (-1+de<a)l((-1+de<a)+1r) = (-1+de<a)(de<a) < 0
Assim
limxto -1^+2x+1x^2+x = +infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( -infty à esquerda e +infty à direita), o limite
limxto -12x+1x^2+x
não existe.

Resposta

limxto -1^-2x+1x^2+x = -infty, limxto -1^+2x+1x^2+x = +infty,
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limxto -12x+1x^2+x
não existe.

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