Questão III ((0,40)) - Cap. 13
O planeta Zero tem massa (6,5 \times 10^{23} ~\mathrm{kg}), raio (2,8 \times 10 ~\mathrm{m}) e nenhuma atmosfera. Uma sonda de 15 kg será lançada verticalmente a partir da superfície.
Qual energia cinética deve ter a sonda ao ser lançada para atingir a distância máxima de (9,0 \times 10 ~\mathrm{m}) do centro de Zero?

Passo 1

O enunciado diz que o planeta Zero tem massa 6,5\times10^{23}\,\mathrm{kg}, raio 2,8\times10^6\,\mathrm{m} e nenhuma atmosfera. Uma sonda de 15\,\mathrm{kg} é lançada verticalmente da superfície e deve alcançar a distância máxima de 9,0\times10^6\,\mathrm{m} do centro do planeta.
Conteúdo: conservação da energia mecânica e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a energia cinética inicial K_i mais a energia potencial gravitacional inicial U_i se transforma na energia potencial gravitacional final U_f, já que a velocidade final é nula:
K_i + U_i = U_f.
Como
U(r) = -\frac{G\,M\,m}{r},
temos
K_i = U_f - U_i = -\frac{G\,M\,m}{r_f} - \Bigl(-\frac{G\,M\,m}{r_i}\Bigr) = G\,M\,m\Bigl(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f}\Bigr),
onde r_i é o raio do planeta e r_f a distância máxima.

Passo 3

Substituindo os valores
G = 6,67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2},\quad M = 6,5\times10^{23}\,\mathrm{kg},\quad m = 15\,\mathrm{kg},
r_i = 2,8\times10^6\,\mathrm{m},\quad r_f = 9,0\times10^6\,\mathrm{m},
calculamos primeiro a diferença de recíprocos:
\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f} = \frac{1}{2,8\times10^6} - \frac{1}{9,0\times10^6} \approx 3,571\times10^{-7} - 1,111\times10^{-7} = 2,460\times10^{-7}\,\mathrm{m^{-1}}.
Em seguida,
G\,M\,m = 6,67\times10^{-11}\times6,5\times10^{23}\times15 \approx 6,50\times10^{14}\,\mathrm{J\,m}.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
K_i \approx 6,50\times10^{14}\times2,460\times10^{-7} \approx 1,60\times10^8\,\mathrm{J}.

Resposta

A energia cinética inicial necessária é aproximadamente 1,6\times10^8\,\mathrm{J}.

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