Questão II (0,30) - Cap. 13
Uma das extremidades de uma barra de aço de raio \mathrm{R}=7,5 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=88 \mathrm{~cm} é presa a um torno.
Uma força F = 69 kN (uniforme, perpendicular à seção reta) é aplicada à outra extremidade.
Calcule:
a) A tensão.
b) O alongamento \Delta \mathrm{L}.
c) A deformação da barra.
(Dados do aço: E=200 \times 10 \pi \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, limite de ruptura \sigma r=400 \times 10 \pi \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, limite de elasticidade \sigma e =250 \times 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} )

Passo 1

O enunciado pede a tensão, o alongamento e a deformação de uma barra de aço submetida a uma força de tração. Os dados são:
– Raio da barra \mathrm{R}=7{,}5\\ \mathrm{mm}
– Comprimento inicial \mathrm{L}=88\\ \mathrm{cm}
– Força \mathrm{F}=69\\ \mathrm{kN}
– Módulo de Young do aço \displaystyle E=200\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}
Vamos precisar converter unidades para o SI e usar as fórmulas
\text{(a) }\sigma=\frac{F}{A}, \quad \text{(b) }\Delta L=\frac{F\,L}{A\,E}, \quad \text{\text{(c)} }\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}.

Passo 2

Calcular a área da seção reta, lembrando de converter \mathrm{R} para metros:
R=7{,}5\\ \mathrm{mm}=7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
A=\pi R^{2} =\pi\bigl(7{,}5\times10^{-3}\bigr)^{2} =\pi\times56{,}25\times10^{-6} \approx1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Calcular a tensão \sigma:
F=69\\ \mathrm{kN}=6{,}9\times10^{4}\\ \mathrm{N},
\sigma=\frac{F}{A} =\frac{6{,}9\times10^{4}}{1{,}767\times10^{-4}} \approx3{,}90\times10^{8}\\ \mathrm{N/m^{2}} =390\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular o alongamento \Delta L:
L=88\\ \mathrm{cm}=0{,}88\\ \mathrm{m},
\Delta L =\frac{F\,L}{A\,E} =\frac{6{,}9\times10^{4}\times0{,}88}{(1{,}767\times10^{-4})\,(2{,}00\times10^{11})} \approx1{,}72\times10^{-3}\\ \mathrm{m} =1{,}72\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a deformação (adimensional) \varepsilon:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L} =\frac{1{,}72\times10^{-3}}{0{,}88} \approx1{,}95\times10^{-3} =0{,}195\%.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma=390\\ \mathrm{MPa}.
(b) \displaystyle \Delta L=1{,}72\\ \mathrm{mm}.
(c) \displaystyle \varepsilon=1{,}95\times10^{-3} (ou 0{,}195\%).

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