Questão 34 (ENA-PROFMAT-2013). Na primeira fase de um campeonato interescolar de basquete, onde cada time joga uma vez contra cada um dos outros times, foram realizados 253 jogos. Quantos times havia no campeonato?

Passo 1

Vamos identificar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado informa que, na primeira fase, cada time joga uma vez contra cada um dos outros times.
  • Foi realizado um total de 253 jogos.
  • Pergunta: quantos times havia no campeonato?
Defino a incógnita:
  • Seja n o número de times (o que precisamos encontrar).

Passo 2

Modelar quantos jogos acontecem em função de n.
Quando cada par de times joga exatamente uma vez, cada jogo corresponde a uma escolha de 2 times dentre os n. O número de maneiras de escolher 2 elementos dentre n sem ordem é o coeficiente binomial \binom{n}{2}.
A fórmula para \binom{n}{2} é
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},
onde:
  • n é o número total de times,
  • n-1 é o número de adversários possíveis para um time fixo,
  • o fator 1/2 aparece porque escolher (time A, time B) é o mesmo jogo que (time B, time A) — a ordem não importa.
Portanto o total de jogos é \dfrac{n(n-1)}{2}.

Passo 3

Montar a equação usando a informação do enunciado.
Sabendo que foram realizados 253 jogos, temos:
\frac{n(n-1)}{2}=253.
Multiplico ambos os lados por 2 para ficar sem fração:
n(n-1)=506.
Expando para obter uma equação quadrática padrão:
n^2-n-506=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática \displaystyle n^2-n-506=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \displaystyle an^2+bn+c=0 as raízes são
n=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-1, c=-506. Calculo o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-506)=1+2024=2025.
A raiz quadrada de 2025 é 45 porque 45^2=2025. Assim as raízes são
n=\frac{1\pm45}{2}.
Isso dá duas possibilidades:
n=\frac{1+45}{2}=\frac{46}{2}=23
ou
n=\frac{1-45}{2}=\frac{-44}{2}=-22.
Como n representa número de times, deve ser um inteiro positivo; descartamos n=-22. Logo n=23.

Passo 5

Verificação rápida para garantir que bate com os jogos dados.
Calculo \displaystyle \binom{23}{2}=\frac{23\cdot22}{2}=\frac{506}{2}=253, que é exatamente o número informado. Está consistente.

Resposta

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