Questão 34 (ENA-PROFMAT-2013). Na primeira fase de um campeonato interescolar de basquete, onde cada time joga uma vez contra cada um dos outros times, foram realizados 253 jogos. Quantos times havia no campeonato?
Passo 1
Vamos identificar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado informa que, na primeira fase, cada time joga uma vez contra cada um dos outros times.
- Foi realizado um total de
jogos. - Pergunta: quantos times havia no campeonato?
Defino a incógnita:
- Seja
o número de times (o que precisamos encontrar).
Passo 2
Modelar quantos jogos acontecem em função de
.
Quando cada par de times joga exatamente uma vez, cada jogo corresponde a uma escolha de 2 times dentre os
. O número de maneiras de escolher 2 elementos dentre
sem ordem é o coeficiente binomial
.
A fórmula para
é
onde:
-
é o número total de times, -
é o número de adversários possíveis para um time fixo, - o fator
aparece porque escolher (time A, time B) é o mesmo jogo que (time B, time A) — a ordem não importa.
Portanto o total de jogos é
.
Passo 3
Montar a equação usando a informação do enunciado.
Sabendo que foram realizados
jogos, temos:
Multiplico ambos os lados por
para ficar sem fração:
Expando para obter uma equação quadrática padrão:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
as raízes são
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
A raiz quadrada de
é
porque
. Assim as raízes são
Isso dá duas possibilidades:
ou
Como
representa número de times, deve ser um inteiro positivo; descartamos
. Logo
.
Passo 5
Verificação rápida para garantir que bate com os jogos dados.
Calculo
, que é exatamente o número informado. Está consistente.
Resposta
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