Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=c x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y = c,x^2
onde c é o parâmetro, e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam cada membro desse conjunto formando ângulo de 90^circ. Para isso, precisamos (1) obter a equação diferencial da família dada e (2) trocar sua derivada pela negativa recíproca, obtendo assim a equação diferencial das ortogonais.

Passo 2

Começamos achando a derivada de y em função de x para a família y=cx^2. Como
c = yx^2,
temos
dydx = 2c,x = 2xcdotyx^2 = 2yx

Passo 3

Para que duas curvas sejam ortogonais, os produtos de suas declividades é -1. Logo, se dydx=2yx é a declividade da família original, a declividade das ortogonais satisfaz
mperp = -1(dy/dx) = -12y/x = -x2y
Portanto, a equação diferencial das ortogonais é
dydx = -x2y

Passo 4

A equação
dydx = -x2y
é separável. Reescrevendo,
2y,dy = -x,dx
Integramos dos dois lados:
integral 2y,dy = integral -x,dx Longrightarrow y^2 = -x^22 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Podemos reorganizar a solução para realçar a família de curvas resultante. Multiplicando por 2 e passando termos, obtemos
x^2 + 2y^2 = C,
onde C=2K é uma constante arbitrária. Este é o conjunto de elipses que formam as trajetórias ortogonais à família y=cx^2.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por
x^2 + 2y^2 = C,
com C constante.

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