Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=c x^{2}
y=c x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde
é o parâmetro, e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam cada membro desse conjunto formando ângulo de
. Para isso, precisamos (1) obter a equação diferencial da família dada e (2) trocar sua derivada pela negativa recíproca, obtendo assim a equação diferencial das ortogonais.
Passo 2
Começamos achando a derivada de
em função de
para a família
. Como
temos
Passo 3
Para que duas curvas sejam ortogonais, os produtos de suas declividades é
. Logo, se
é a declividade da família original, a declividade das ortogonais satisfaz
Portanto, a equação diferencial das ortogonais é
Passo 4
A equação
é separável. Reescrevendo,
Integramos dos dois lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Podemos reorganizar a solução para realçar a família de curvas resultante. Multiplicando por 2 e passando termos, obtemos
onde
é uma constante arbitrária. Este é o conjunto de elipses que formam as trajetórias ortogonais à família
.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por
com
constante.