Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{3}+3 x^{2} y=c

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definida por
y^3 + 3x^2y = C,
ou seja, curvas que cortam todas as do dado campo sempre em ângulo reto. Vamos usar diferenciação implícita para obter a inclinação dessas curvas, impor a condição de ortogonalidade e então resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x temos
3y^2dydx + 3l(2x,y + x^2dydxr) = 0
Reagrupando os termos com dydx e isolando essa derivada,
l(3y^2 + 3x^2r)dydx + 6xy = 0 Longrightarrow dydx = -6xy3(y^2 + x^2) = -2xyy^2 + x^2

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, chamando sua inclinação de dydxl|perp, vale
dydxl|perp;cdot;l(-2xyy^2+x^2r) ;=;-1 Longrightarrow dydxl|perp = y^2 + x^22xy

Passo 4

Observamos que
dydx = x^2 + y^22xy
é uma equação homogênea (grau zero em x,y). Usamos a substituição
y = v,x, dydx = v + xdvdx
Substituindo,
v + xdvdx = x^2 + v^2x^22xcdot v x = 1 + v^22v,
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xdvdx = 1+v^22v - v = 1 - v^22v

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
integral 2v1 - v^2,dv ;=; integral dxx
Fazendo u = 1 - v^2, du = -2v,dv, obtemos
-integral duu = ln|x| + K Longrightarrow -lnl|1 - v^2r| = ln|x| + K
Reescrevendo e voltando a y/x:
lnl|1 - v^2r| = -ln|x| + K' Longrightarrow l|1 - tfracy^2x^2r| = Ax
Multiplicando por x^2 e absorvendo o sinal em A:
x^2 - y^2 = A,x,
que é a família geral das trajetórias ortogonais.

Resposta

A equação implícita que representa as trajetórias ortogonais é
x^2 - y^2 = K,x,
onde K é a constante de integração.

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