Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{3}+3 x^{2} y=c
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definida por
ou seja, curvas que cortam todas as do dado campo sempre em ângulo reto. Vamos usar diferenciação implícita para obter a inclinação dessas curvas, impor a condição de ortogonalidade e então resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Diferenciando implicitamente em relação a temos
Reagrupando os termos com e isolando essa derivada,
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais, chamando sua inclinação de , vale