Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{c}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = c1+x^2
e pede as trajetórias ortogonais, isto é, as curvas que interceptam cada membro dessa família formando ângulo reto. Para isso, vamos:
  1. achar a equação diferencial da família dada,
  2. substituir sua inclinação pela negativa recíproca,
  3. resolver a nova EDO resultante.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro c. Como
y = c1+x^2,
temos
c = y(1+x^2)
Derivando ambos os lados em relação a x (e lembrando que c é constante), obtemos
0 = ddxl[y(1+x^2)r] = (1+x^2),dydx + ycdot 2x,
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dydx = -,2xy1+x^2

Passo 3

Para ter inclinacão ortogonal, trocamos m=dydx pela sua negativa recíproca:
dydx|perp = -1m = -1-2xy1+x^2 = 1+x^22xy

Passo 4

Agora resolvemos a EDO
dydx = 1+x^22xy,
que é separável. Reescrevendo, fica
2y,dy = l(1+x^2xr)dx = l(1x + xr)dx
Integramos ambos os lados:
integral 2y,dy = integrall(1x + xr)dx Longrightarrow y^2 = ln|x| + x^22 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Bast a reescrever a solução de forma implícita:
y^2 - ln|x| - x^22 = K

Resposta

A família das trajetórias ortogonais é dada implicitamente por
y^2 - ln|x| - x^22 = K

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