Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{c}{1+x^{2}}
y=\frac{c}{1+x^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
e pede as trajetórias ortogonais, isto é, as curvas que interceptam cada membro dessa família formando ângulo reto. Para isso, vamos:
- achar a equação diferencial da família dada,
- substituir sua inclinação pela negativa recíproca,
- resolver a nova EDO resultante.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro
. Como
temos
Derivando ambos os lados em relação a
(e lembrando que
é constante), obtemos
logo
Passo 3
Para ter inclinacão ortogonal, trocamos
pela sua negativa recíproca:
Passo 4
Agora resolvemos a EDO
que é separável. Reescrevendo, fica
Integramos ambos os lados:
onde
K é constante de integração.
Passo 5
Bast a reescrever a solução de forma implícita:
Resposta
A família das trajetórias ortogonais é dada implicitamente por