Questão 33. Ache a equação da curva em que a reta normal em qualquer ponto (x, y) passa pela origem.( Resp. x^2+y^2=k, k constante)

Passo 1

O enunciado pede encontrar a família de curvas tal que, em qualquer ponto (x,y), a reta normal à curva passe pela origem. Vamos usar geometria de curvas: a inclinação da reta tangente é
y'=dydx,
portanto a inclinação da normal é -1/y'. Basta escrever a equação da normal, impor que ela contenha o ponto (0,0) e daí obter uma equação diferencial para y(x).

Passo 2

A reta normal em (x,y) tem equação
Y - y = -1y',(X - x)
Como ela passa pela origem (0,0), substituímos X=0 e Y=0:
0 - y = -1y',(0 - x) Longrightarrow -y = xy'
Multiplicando ambos os lados por y' resulta
y' = -xy

Passo 3

Reconhecemos uma equação diferencial separável:
dydx = -xy Longrightarrow y,dy + x,dx = 0

Passo 4

Integramos os dois termos:
integral y,dy + integral x,dx = C Longrightarrow y^22 + x^22 = C
Multiplicando tudo por 2 e chamando k=2C, obtemos
x^2 + y^2 = k,
com k constante.

Resposta

x^2 + y^2 = k, k constante.

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