Questão 33. Ache a equação da curva em que a reta normal em qualquer ponto
passa pela origem.( Resp.
constante)
Passo 1
O enunciado pede encontrar a família de curvas tal que, em qualquer ponto
, a reta normal à curva passe pela origem. Vamos usar geometria de curvas: a inclinação da reta tangente é
portanto a inclinação da normal é
. Basta escrever a equação da normal, impor que ela contenha o ponto
e daí obter uma equação diferencial para
.
Passo 2
A reta normal em
tem equação
Como ela passa pela origem
, substituímos
e
:
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Passo 3
Reconhecemos uma equação diferencial separável:
Passo 4
Integramos os dois termos:
Multiplicando tudo por 2 e chamando
, obtemos
com
constante.