1^{\underline{\text { a }}} Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\operatorname{sen} t u_{2 \pi}(t)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(t)=\sin t\;u_{2\pi}(t)
e pede: calcular a Transformada de Laplace de f(t)\). Informações úteis que o enunciado fornece explicitamente ou implicita:
\[u_{2\pi}(t)=\begin{cases} 0,& t<2\pi,\\[4pt] 1,& t\ge 2\pi, \end{cases}
ou seja, f(t)=0\] para \(t<2\pi e f(t)=\sin t para t\ge 2\pi. A tarefa é obter \mathcal{L}\{f(t)\}(s).]
Passo 2
Vamos usar uma propriedade de mudança de variável na definição da Transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição da Transformada de Laplace: para uma função g(t) (adequada),
válida para \Re(s)>0. Mentalmente: a presença do passo unitário em 2\pi só introduz o fator exponencial e^{-2\pi s}; a parte racional \dfrac{1}{s^2+1} é a transformada do seno “não deslocado”.