(a) (10 pontos) Esboce os gráficos das extensões periódicas par g(x) e ímpar h(x) de f(x).
(b) ( \mathbf{2 0} pontos) Encontre as séries de Fourier de g(x), h(x) no intervalo ( -2,2 ).
definida apenas em (0,2). Pede-se:
(a) desenhar as extensões periódicas par g(x) e ímpar h(x) de período T=4;
(b) encontrar as séries de Fourier de g e h no intervalo (-2,2).
Vamos usar o conceito de extensão par/ímpar, depois aplicar as fórmulas de série de Fourier em [-L,L] com L=2.
Passo 2
Para a extensão par g(x)\) de período \(4\) definimos
\[g(x)=g(-x),\quad g(x+4)=g(x),\quad g(x)=f(x)\text{ em }0<x<2.
e depois repetimos com período 4\]. Graficamente, no intervalo \([-2,2] surge um “triângulo” de vértice g(0)=1 decaindo linearmente até zero em x=\pm1, depois platô g=0 até \pm2, e assim por diante periodicamente.
Passo 3
Para a extensão ímpar h(x)\) de período \(4\) definimos
\[h(-x)=-h(x),\quad h(x+4)=h(x),\quad h(x)=f(x)\text{ em }0<x<2.
e depois repetimos com período 4\]. Graficamente, no pedaço \((0,1) é a reta decrescente de 1 a 0, em (1,2) vale zero; no lado negativo repete-se com sinal trocado, e assim a cada período 4.
Passo 4
Como g é par e periódica de período T=4, podemos expandi-la em