Questão 1. (30 pontos) Considere seguinte função, definida apenas no intervalo (0,2)
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-x, \quad 0<x<1 \\\\ 0, \quad 1<x<2 \end{array}\right.
(a) (10 pontos) Esboce os gráficos das extensões periódicas par g(x) e ímpar h(x) de f(x).
(b) ( \mathbf{2 0} pontos) Encontre as séries de Fourier de g(x), h(x) no intervalo ( -2,2 ).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} 1 - x,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases}
definida apenas em (0,2). Pede-se:
(a) desenhar as extensões periódicas par g(x) e ímpar h(x) de período T=4;
(b) encontrar as séries de Fourier de g e h no intervalo (-2,2).
Vamos usar o conceito de extensão par/ímpar, depois aplicar as fórmulas de série de Fourier em [-L,L] com L=2.

Passo 2

Para a extensão par g(x)\) de período \(4\) definimos \[g(x)=g(-x),\quad g(x+4)=g(x),\quad g(x)=f(x)\text{ em }0<x<2.
Em [-2,2] isso dá
g(x)= \begin{cases} 1 - |x|,&|x|<1,\\\\ 0,&1<|x|<2, \end{cases}
e depois repetimos com período 4\]. Graficamente, no intervalo \([-2,2] surge um “triângulo” de vértice g(0)=1 decaindo linearmente até zero em x=\pm1, depois platô g=0 até \pm2, e assim por diante periodicamente.

Passo 3

Para a extensão ímpar h(x)\) de período \(4\) definimos \[h(-x)=-h(x),\quad h(x+4)=h(x),\quad h(x)=f(x)\text{ em }0<x<2.
Em [-2,2] isso dá
h(x)= \begin{cases} 1 - x,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2,\\\\ -(1 + x),&-1<x<0,\\\\ 0,&-2<x<-1, \end{cases}
e depois repetimos com período 4\]. Graficamente, no pedaço \((0,1) é a reta decrescente de 1 a 0, em (1,2) vale zero; no lado negativo repete-se com sinal trocado, e assim a cada período 4.

Passo 4

Como g é par e periódica de período T=4, podemos expandi-la em
g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),
onde, com L=T/2=2,
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(x)\,dx, \quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(x)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.
Como g é par, esses integrandos duplicam o intervalo [0,2].

Passo 5

Calcular a_0 e a_n:
a_0 =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_0^1(1-x)\,dx =1-\tfrac12 =\tfrac12,
logo \tfrac{a_0}{2}=\tfrac14. Para n\ge1 seja \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. Então
a_n =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos(\alpha x)\,dx =\int_0^1(1-x)\cos(\alpha x)\,dx =\frac{1-\cos\alpha}{\alpha^2}.
Substituindo \alpha=n\pi/2,
a_n =\frac{1-\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2} =\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(1-\cos\frac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 6

Portanto a série de Fourier de g é
g(x) =\frac14 +\sum_{n=1}^\infty \frac{4\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^2\pi^2} \;\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Passo 7

Como h é ímpar e também de período 4, sua expansão em [-2,2] é
h(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),
onde
b_n =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}h(x)\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{2}f(x)\sin(\alpha x)\,dx.

Passo 8

Com \alpha=\tfrac{n\pi}{2} calculamos
b_n =\int_0^1(1-x)\sin(\alpha x)\,dx =\frac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}.
Logo, substituindo \alpha=n\pi/2,
b_n =\frac{\tfrac{n\pi}{2}-\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2} =\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}-\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 9

Assim a série de Fourier de h fica
h(x) =\sum_{n=1}^\infty \frac{4\bigl(\tfrac{n\pi}{2}-\sin(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^2\pi^2} \;\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Resposta

a) Os gráficos de g\) e \(h\) em \([-2,2]\) são, respectivamente, a função par \[g(x)=\begin{cases} 1-|x|,&|x|<1,\\\\ 0,&1<|x|<2, \end{cases}
e a função ímpar
h(x)=\begin{cases} 1 - x,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2,\\\\ -(1 + x),&-1<x<0,\\\\ 0,&-2<x<-1, \end{cases}
ambas periódicas de período 4\]. b) As séries de Fourier em \((-2,2) são
g(x) =\frac14 +\sum_{n=1}^\infty \frac{4\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),
h(x) =\sum_{n=1}^\infty \frac{4\bigl(\tfrac{n\pi}{2}-\sin(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n^2\pi^2} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

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