Questão 2 (35 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & -2\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor encontrado no item ( a ), encontre um autovetor associado.
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é diagonal; se não for, justifique.
e pede:
– (a) os autovalores de A;
– (b) um autovetor associado a cada autovalor;
– (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas homogêneos para encontrar autovetores e análise de multiplicidades para diagonalização.
(a) Os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=3 e \lambda_3=-2.
(b) Um conjunto de autovetores correspondentes é \;v_1=(-1,1,0)^T para \lambda_1=1, \;v_2=(0,1,0)^T para \lambda_2=3, \;v_3=(1,0,1)^T para \lambda_3=-2.
(c) A é diagonalizável e podemos escolher