Questão 2 (35 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & -2\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor encontrado no item ( a ), encontre um autovetor associado.
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é diagonal; se não for, justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\\\ 2 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}
e pede:
– (a) os autovalores de A;
– (b) um autovetor associado a cada autovalor;
– (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas homogêneos para encontrar autovetores e análise de multiplicidades para diagonalização.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, calculamos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & -3\\\\ 2 & 3-\lambda & -2\\\\ 0 & 0 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular superior salvo na primeira coluna, temos
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(3-\lambda)(-2-\lambda).

Passo 3

As raízes do polinômio característico (1-\lambda)(3-\lambda)(-2-\lambda)=0 são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = -2.

Passo 4

Para \lambda_1=1, resolvemos (A - I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 0 & 0 & -3\\\\ 2 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações dão z=0 e x+y=0. Tomando y=1, obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3, resolvemos (A - 3I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} -2 & 0 & -3\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações surge z=0, x=0, e y livre. Tomando y=1, temos
v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-2, resolvemos (A + 2I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 3 & 0 & -3\\\\ 2 & 5 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações dão x=z e y=0. Tomando z=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Como aparecem três autovalores distintos, cada um com um autovetor independente, a matriz A é diagonalizável. Basta montar
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\ \;1 & 1 & 0\\\ \;0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de modo que
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=3 e \lambda_3=-2.
(b) Um conjunto de autovetores correspondentes é
\;v_1=(-1,1,0)^T para \lambda_1=1,
\;v_2=(0,1,0)^T para \lambda_2=3,
\;v_3=(1,0,1)^T para \lambda_3=-2.
(c) A é diagonalizável e podemos escolher
P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\ \;1 & 1 & 0\\\ \;0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de forma que P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,3,-2).

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