Questão 3 (7 pontos). Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\ a & 0 & 2 a\end{array}\right), onde a é um número qualquer.
(a) Quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de A ?
(b) Quantas soluções tem o sistema A X=\overline{0} ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\ a & 0 & 2a \end{pmatrix}
e pergunta (a) suas formas escalonadas reduzidas e (b) quantas soluções tem o sistema homogêneo A X = \overline{0}.
O que vamos usar: redução de linhas para encontrar a forma escalonada reduzida (RREF), cálculo do posto (rank) e a propriedade de sistemas homogêneos de dimensão do espaço nulo igual a n - \text{rank}.
Passo 2
Determinar o posto de A depende de sabermos quando a segunda linha é múltiplo da primeira. Procuramos \lambda tal que
\lambda\,(1,2,-2) = (a,0,2a).
Da primeira componente \lambda = a. Da segunda obtemos 2a=0, ou seja a=0. Concluímos:
Se a\neq0, as linhas são linearmente independentes e \mathrm{rank}(A)=2.
Se a=0, a segunda linha é (0,0,0) e \mathrm{rank}(A)=1.
Passo 3
Caso a\neq0, seguimos a eliminação:
Usamos o pivô 1 em (1,1).
Subtraímos a vezes a linha 1 da linha 2:
(a,0,2a)-a\,(1,2,-2) = (0,-2a,4a).
Dividimos a linha 2 por -2a e eliminamos acima: obtemos
Para o sistema homogêneo A X = \overline{0} em n=3 variáveis, o número de soluções é infinito sempre que \mathrm{rank}(A)<3. Mais precisamente, a dimensão do espaço de soluções é
\dim\ker A = 3 - \mathrm{rank}(A).
Se a\neq0, \mathrm{rank}(A)=2 e há infinitas soluções com 1 parâmetro livre.
Se a=0, \mathrm{rank}(A)=1 e há infinitas soluções com 2 parâmetros livres.
Resposta
(a) As possíveis formas escalonadas reduzidas de A são:
Para a\neq0: