Questão 3 (7 pontos). Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\ a & 0 & 2 a\end{array}\right), onde a é um número qualquer.
(a) Quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de A ?
(b) Quantas soluções tem o sistema A X=\overline{0} ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\ a & 0 & 2a \end{pmatrix}
e pergunta (a) suas formas escalonadas reduzidas e (b) quantas soluções tem o sistema homogêneo A X = \overline{0}.
O que vamos usar: redução de linhas para encontrar a forma escalonada reduzida (RREF), cálculo do posto (rank) e a propriedade de sistemas homogêneos de dimensão do espaço nulo igual a n - \text{rank}.

Passo 2

Determinar o posto de A depende de sabermos quando a segunda linha é múltiplo da primeira. Procuramos \lambda tal que
\lambda\,(1,2,-2) = (a,0,2a).
Da primeira componente \lambda = a. Da segunda obtemos 2a=0, ou seja a=0. Concluímos:
  • Se a\neq0, as linhas são linearmente independentes e \mathrm{rank}(A)=2.
  • Se a=0, a segunda linha é (0,0,0) e \mathrm{rank}(A)=1.

Passo 3

Caso a\neq0, seguimos a eliminação:
  1. Usamos o pivô 1 em (1,1).
  2. Subtraímos a vezes a linha 1 da linha 2:
(a,0,2a)-a\,(1,2,-2) = (0,-2a,4a).
  1. Dividimos a linha 2 por -2a e eliminamos acima: obtemos
\mathrm{RREF}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Caso a=0, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que já está em forma escalonada reduzida. Assim
\mathrm{RREF}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para o sistema homogêneo A X = \overline{0} em n=3 variáveis, o número de soluções é infinito sempre que \mathrm{rank}(A)<3. Mais precisamente, a dimensão do espaço de soluções é
\dim\ker A = 3 - \mathrm{rank}(A).
  • Se a\neq0, \mathrm{rank}(A)=2 e há infinitas soluções com 1 parâmetro livre.
  • Se a=0, \mathrm{rank}(A)=1 e há infinitas soluções com 2 parâmetros livres.

Resposta

(a) As possíveis formas escalonadas reduzidas de A são:
Para a\neq0:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},
e para a=0:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(b) Em ambos os casos o sistema homogêneo tem infinitas soluções, pois
  • para a\neq0 a dimensão do núcleo é 3-2=1,
  • para a=0 a dimensão do núcleo é 3-1=2.

Exercícios relacionados