Questão 3 (35 pontos). Considere o sistema linear: \left\{\begin{aligned} x+y+\lambda z & =1 \\\\ 2 x+3 z & =\lambda \\\ \lambda x-y+2 z & =-1\end{aligned}\right..
(a) Determine os valores possíveis de \lambda para que o sistema tenha solução única.
(b) Substitua \lambda=0 e encontre a solução do sistema.
(c) Substitua \lambda=1 e verifique que o sistema é inconsistente (isto é, não tem solução).
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com parâmetro \lambda em três equações e três incógnitas (x,y,z). Para resolver, a gente vai precisar:
Calcular o determinante da matriz de coeficientes para achar quando o sistema tem solução única.
Substituir \lambda=0 e resolver o sistema normalmente.
Substituir \lambda=1 e mostrar que dá contradição (sistema inconsistente).
No caso \lambda=0\), o sistema vira
\[\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 2x + 3z = 0,\\\\ -\,y + 2z = -1. \end{cases}
Da segunda equação isolamos
x = -\tfrac{3}{2}z,
e da terceira obtemos
y = 2z + 1.
Substituindo em x + y = 1\]:
\[-\tfrac{3}{2}z + (2z+1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.\]
Logo \(x=0 e y=1. A solução é
(x,y,z) = (0,1,0).
Passo 5
Para \lambda=1\), o sistema fica
\[\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x + 3z = 1,\\\ x - y + 2z = -1. \end{cases}
Se somamos a primeira e a terceira equações, dá
2x + 3z = 0,
mas a segunda exige (2x+3z=1]. É uma contradição, logo não há solução (sistema inconsistente).
Resposta
(a) \lambda \neq 1.
(b) Para \lambda=0, (x,y,z)=(0,1,0).
(c) Para \lambda=1, sistema inconsistente.