Questão 3 (35 pontos). Considere o sistema linear: \left\{\begin{aligned} x+y+\lambda z & =1 \\\\ 2 x+3 z & =\lambda \\\ \lambda x-y+2 z & =-1\end{aligned}\right..
(a) Determine os valores possíveis de \lambda para que o sistema tenha solução única.
(b) Substitua \lambda=0 e encontre a solução do sistema.
(c) Substitua \lambda=1 e verifique que o sistema é inconsistente (isto é, não tem solução).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com parâmetro \lambda em três equações e três incógnitas (x,y,z). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular o determinante da matriz de coeficientes para achar quando o sistema tem solução única.
  2. Substituir \lambda=0 e resolver o sistema normalmente.
  3. Substituir \lambda=1 e mostrar que dá contradição (sistema inconsistente).

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda\\\\ 2 & 0 & 3\\\ \lambda & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Usando expansão por cofactores na primeira linha,
\det A =1\cdot(0\cdot2 - 3\cdot(-1)) -1\cdot(2\cdot2 - 3\lambda) +\lambda\cdot\bigl(2\cdot(-1)-0\cdot\lambda\bigr).
Calculando termo a termo,
\det A =1\cdot3 \;-\;(4-3\lambda)\;+\;\lambda\cdot(-2) =3 - 4 + 3\lambda -2\lambda =\lambda - 1.

Passo 3

Para o sistema ter solução única, a matriz tem que ser invertível, isto é \det A\neq0.
Logo
\lambda - 1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda \neq 1.

Passo 4

No caso \lambda=0\), o sistema vira \[\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 2x + 3z = 0,\\\\ -\,y + 2z = -1. \end{cases}
Da segunda equação isolamos
x = -\tfrac{3}{2}z,
e da terceira obtemos
y = 2z + 1.
Substituindo em x + y = 1\]: \[-\tfrac{3}{2}z + (2z+1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.\] Logo \(x=0 e y=1. A solução é
(x,y,z) = (0,1,0).

Passo 5

Para \lambda=1\), o sistema fica \[\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x + 3z = 1,\\\ x - y + 2z = -1. \end{cases}
Se somamos a primeira e a terceira equações, dá
2x + 3z = 0,
mas a segunda exige (2x+3z=1]. É uma contradição, logo não há solução (sistema inconsistente).

Resposta

(a) \lambda \neq 1.
(b) Para \lambda=0, (x,y,z)=(0,1,0).
(c) Para \lambda=1, sistema inconsistente.

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