Questão 31. Em uma P.A de 100 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 500, e a de ordem par, é 900. Qual é o menor termo positivo que pertence a essa P.A ?

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética (P.A.) com 100 termos e informa duas somas:
  • Soma dos termos de ordem ímpar (ou seja, posições 1,3,5,\ldots,99) é 500.
  • Soma dos termos de ordem par (posições 2,4,6,\ldots,100) é 900.
O que o problema pede:
  • Determinar o menor termo positivo que pertence a essa P.A.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A P.A. tem 100 termos no total.
  • O número de termos de ordem ímpar é 50.
  • O número de termos de ordem par é 50.
  • Denotarei o primeiro termo por a_1 e a razão por d. Não foi dado nenhum valor numérico para a_1 ou d no enunciado.

Passo 2

Vamos escrever fórmulas básicas e entender o que cada símbolo significa.
  • Em uma P.A., o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d é a razão (diferença entre termos consecutivos).
  • A soma dos primeiros m termos de uma P.A. pode ser escrita de duas formas equivalentes. Uma delas é
S_m = \frac{m}{2}\bigl(a_1 + a_m\bigr),
onde a_m é o m-ésimo termo. Aqui m é o número de termos somados. Vou usar essa forma porque é fácil identificar o primeiro e o último termo de cada subsequência.

Passo 3

Considerando os termos de ordem ímpar: eles são a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{99}.
  • Essa subsequência também é uma P.A. com primeiro termo a_1 e razão 2d (porque ao pular um termo somamos duas vezes d).
  • Número de termos dessa subsequência: 50.
  • O último termo dessa subsequência é a_{99} = a_1 + 98d.
A soma dos 50 termos ímpares é dada por
S_{\text{ímpar}} = \frac{50}{2}\bigl(a_1 + a_{99}\bigr).í
Substituindo a_{99}=a_1+98d e usando S_{\text{ímpar}}=500í, obtemos
500 = 25\bigl(a_1 + (a_1 + 98d)\bigr).
Desenvolvendo,
500 = 25(2a_1 + 98d) = 50a_1 + 2450d.
Dividindo ambos os lados por 50,
a_1 + 49d = 10. \tag{1}

Passo 4

Agora a soma dos termos de ordem par: são a_2, a_4, \ldots, a_{100}.
  • Primeiro termo dessa subsequência: a_2 = a_1 + d.
  • Último termo: a_{100} = a_1 + 99d.
  • Número de termos: 50.
  • Soma dada: 900.
Aplicando a fórmula da soma:
900 = \frac{50}{2}\bigl(a_2 + a_{100}\bigr) = 25\bigl((a_1 + d) + (a_1 + 99d)\bigr).
Desenvolvendo,
900 = 25(2a_1 + 100d) = 50a_1 + 2500d.
Dividindo por 50,
a_1 + 50d = 18. \tag{2}

Passo 5

Temos agora o sistema linear formado pelas equações (1)\) e \((2)\): \[\begin{cases} a_1 + 49d = 10,\\[4pt] a_1 + 50d = 18. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar a_1\], \[(a_1 + 50d) - (a_1 + 49d) = 18 - 10 \quad\Rightarrow\quad d = 8.\] Substituindo \(d=8 em (1),
a_1 + 49\cdot 8 = 10 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 392 = 10 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 10 - 392 = -382.
Portanto a P.A. tem a_1 = -382 e d = 8.]

Passo 6

Escrevendo a expressão do n-ésimo termo:
a_n = -382 + (n-1)\cdot 8.
Como d=8>0, a P.A. é crescente, então os termos vão aumentando. O menor termo positivo será o primeiro a_n que for maior que zero. Vamos encontrar o menor índice n tal que a_n>0.
Resolver a desigualdade:
-382 + 8(n-1) > 0.
Passos para isolar n:
8(n-1) > 382,
n-1 > \frac{382}{8} = 47{,}75,
n > 48{,}75.
O menor inteiro n que satisfaz isso é n=49.

Passo 7

Calcular explicitamente a_{49} para ver qual é o termo:
a_{49} = -382 + 8(49-1) = -382 + 8\cdot 48 = -382 + 384 = 2.
Verificação rápida: a_{48} = -382 + 8\cdot 47 = -382 + 376 = -6 (ainda negativo), então realmente o primeiro termo positivo é a_{49}=2.

Resposta

2

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