Questão 31. Em uma P.A de 100 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 500, e a de ordem par, é 900. Qual é o menor termo positivo que pertence a essa P.A ?
Passo 1
O enunciado dá uma progressão aritmética (P.A.) com 100 termos e informa duas somas:
Soma dos termos de ordem ímpar (ou seja, posições 1,3,5,\ldots,99) é 500.
Soma dos termos de ordem par (posições 2,4,6,\ldots,100) é 900.
O que o problema pede:
Determinar o menor termo positivo que pertence a essa P.A.
Informações úteis extraídas do enunciado:
A P.A. tem 100 termos no total.
O número de termos de ordem ímpar é 50.
O número de termos de ordem par é 50.
Denotarei o primeiro termo por a_1 e a razão por d. Não foi dado nenhum valor numérico para a_1 ou d no enunciado.
Passo 2
Vamos escrever fórmulas básicas e entender o que cada símbolo significa.
Em uma P.A., o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d é a razão (diferença entre termos consecutivos).
A soma dos primeiros m termos de uma P.A. pode ser escrita de duas formas equivalentes. Uma delas é
S_m = \frac{m}{2}\bigl(a_1 + a_m\bigr),
onde a_m é o m-ésimo termo. Aqui m é o número de termos somados. Vou usar essa forma porque é fácil identificar o primeiro e o último termo de cada subsequência.
Passo 3
Considerando os termos de ordem ímpar: eles são a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{99}.
Essa subsequência também é uma P.A. com primeiro termo a_1 e razão 2d (porque ao pular um termo somamos duas vezes d).
Número de termos dessa subsequência: 50.
O último termo dessa subsequência é a_{99} = a_1 + 98d.
Temos agora o sistema linear formado pelas equações (1)\) e \((2)\):
\[\begin{cases} a_1 + 49d = 10,\\[4pt] a_1 + 50d = 18. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar a_1\],
\[(a_1 + 50d) - (a_1 + 49d) = 18 - 10 \quad\Rightarrow\quad d = 8.\]
Substituindo \(d=8 em (1),
Como d=8>0, a P.A. é crescente, então os termos vão aumentando. O menor termo positivo será o primeiro a_n que for maior que zero. Vamos encontrar o menor índice n tal que a_n>0.
Resolver a desigualdade:
-382 + 8(n-1) > 0.
Passos para isolar n:
8(n-1) > 382,
n-1 > \frac{382}{8} = 47{,}75,
n > 48{,}75.
O menor inteiro n que satisfaz isso é n=49.
Passo 7
Calcular explicitamente a_{49} para ver qual é o termo: