Questão 33. Quantos termos tem a P.G.
?
Passo 1
O enunciado dá a sequência geométrica
e pede: quantos termos essa P.G. tem?
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Primeiro termo:
(tirado do enunciado). - Segundo termo:
(tirado do enunciado). - Terceiro termo:
(tirado do enunciado). - Último termo conhecido:
(tirado do enunciado).
O que se pede: determinar o valor detal que o -ésimo termo seja .
Passo 2
Relembrando a fórmula da P.G. de forma bem direta e prática: o
-ésimo termo de uma progressão geométrica é dado por
onde:
-
é o termo na posição , -
é o primeiro termo, -
é a razão (o fator multiplicativo entre termos consecutivos), -
é o índice do termo (um número natural).
Para usar essa fórmula precisamos encontrar a razão.
Passo 3
A razão
é o quociente entre dois termos consecutivos. Usando o primeiro e segundo termos dados:
Confirmação com o segundo e terceiro termos:
Portanto a razão é
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula geral com
e
:
Queremos que
, então igualamos:
Para resolver, escrevemos todos os termos como potências de
. Observações:
portanto
. Substituindo:
Simplificando a potência à esquerda:
Somando os expoentes no produto:
Como as bases são iguais e não nulas, igualam-se os expoentes:
Resolver essa equação:
Passo 5
Para ter mais confiança, listemos rapidamente os termos dividindo sempre por
:
Contando-os vem exatamente
termos, confirmando o resultado.