Questão 33. Quantos termos tem a P.G. \left(27,9,3, \ldots, \frac{1}{2187}\right)\ ?

Passo 1

O enunciado dá a sequência geométrica \left(27,9,3,\ldots,\dfrac{1}{2187}\right) e pede: quantos termos essa P.G. tem?
Informações fornecidas:
  • Primeiro termo: a_1 = 27 (tirado do enunciado).
  • Segundo termo: a_2 = 9 (tirado do enunciado).
  • Terceiro termo: a_3 = 3 (tirado do enunciado).
  • Último termo conhecido: a_n = \dfrac{1}{2187} (tirado do enunciado).
    O que se pede: determinar o valor de n tal que o n-ésimo termo seja \dfrac{1}{2187}.

Passo 2

Relembrando a fórmula da P.G. de forma bem direta e prática: o n-ésimo termo de uma progressão geométrica é dado por
a_n = a_1 r^{\,n-1},
onde:
  • a_n é o termo na posição n,
  • a_1 é o primeiro termo,
  • r é a razão (o fator multiplicativo entre termos consecutivos),
  • n é o índice do termo (um número natural).
    Para usar essa fórmula precisamos encontrar a razão r.

Passo 3

A razão r é o quociente entre dois termos consecutivos. Usando o primeiro e segundo termos dados:
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}.
Confirmação com o segundo e terceiro termos:
\frac{a_3}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
Portanto a razão é \displaystyle r=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula geral com a_1=27 e r=\dfrac{1}{3}:
a_n = 27\left(\frac{1}{3}\right)^{\,n-1}.
Queremos que a_n=\dfrac{1}{2187}, então igualamos:
27\left(\frac{1}{3}\right)^{\,n-1}=\frac{1}{2187}.
Para resolver, escrevemos todos os termos como potências de 3. Observações:
27=3^3,\qquad \frac{1}{3}=3^{-1},\qquad 2187=3^7\\ (\text{pois }3^7=2187),
portanto \dfrac{1}{2187}=3^{-7}. Substituindo:
3^3\cdot\bigl(3^{-1}\bigr)^{\,n-1}=3^{-7}.
Simplificando a potência à esquerda:
3^3\cdot 3^{-(n-1)}=3^{-7}.
Somando os expoentes no produto:
3^{\,3-(n-1)}=3^{-7}.
Como as bases são iguais e não nulas, igualam-se os expoentes:
3-(n-1)=-7.
Resolver essa equação:
3-n+1=-7 \quad\Rightarrow\quad 4-n=-7 \quad\Rightarrow\quad n=11.

Passo 5

Para ter mais confiança, listemos rapidamente os termos dividindo sempre por \dfrac{1}{3}:
27,\;9,\;3,\;1,\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{9},\;\frac{1}{27},\;\frac{1}{81},\;\frac{1}{243},\;\frac{1}{729},\;\frac{1}{2187}.
Contando-os vem exatamente 11 termos, confirmando o resultado.

Resposta

11

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