Questão 32. Uma P.G é tal que a_{2}+a_{4}=60 e a_{3}+a_{5}=180. Determine a_{6}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a_{6} de uma progressão geométrica (P.G.) cuja informação disponível é:
  • a_{2}+a_{4}=60.
  • a_{3}+a_{5}=180.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Existem termos a_{n} de uma P.G. desconhecida; o que se quer é o valor de a_{6}.
  • Os dois valores numéricos fornecidos são as somas dos termos indicados.

Passo 2

Vamos introduzir as incógnitas padrão de uma P.G.:
  • Seja a_{1} a razão inicial (primeiro termo) da P.G. e r a razão comum.
  • Na definição de P.G., o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1},
onde a_{1} é o primeiro termo e r é a razão.
Explicando devagar: quando n=1 temos a_{1}=a_{1}r^{0}=a_{1}; quando n=2 temos a_{2}=a_{1}r; quando n=3 temos a_{3}=a_{1}r^{2}, e assim por diante.

Passo 3

Escrevendo os termos necessários em função de a_{1} e r:
a_{2}=a_{1}r,\qquad a_{3}=a_{1}r^{2},\qquad a_{4}=a_{1}r^{3},\qquad a_{5}=a_{1}r^{4},\qquad a_{6}=a_{1}r^{5}.
Agora substituímos nas somas dadas:
a_{2}+a_{4}=a_{1}r+a_{1}r^{3}=a_{1}r(1+r^{2})=60,
a_{3}+a_{5}=a_{1}r^{2}+a_{1}r^{4}=a_{1}r^{2}(1+r^{2})=180.

Passo 4

Para encontrar r podemos dividir a segunda equação pela primeira (isso é conveniente porque o fator a_{1}(1+r^{2}) vai simplificar). Fazendo a divisão:
\frac{a_{1}r^{2}(1+r^{2})}{a_{1}r(1+r^{2})}=\frac{180}{60}.
No lado esquerdo cancelam a_{1} e 1+r^{2} (note que 1+r^{2}>0 para todo r real, então não estamos dividindo por zero), ficando
r=\frac{180}{60}=3.
Portanto a razão da P.G. é r=3.

Passo 5

Agora encontramos a_{1} usando uma das equações (uso a mais simples: a_{1}r(1+r^{2})=60). Substituindo r=3:
a_{1}\cdot 3\cdot(1+3^{2})=60.
Calcule passo a passo: 3^{2}=9, então 1+3^{2}=10. Logo
a_{1}\cdot 3\cdot 10=a_{1}\cdot 30=60.
Assim
a_{1}=\frac{60}{30}=2.

Passo 6

Com a_{1}=2 e r=3 calculamos a_{6}:
a_{6}=a_{1}r^{5}=2\cdot 3^{5}.
Sabendo que 3^{2}=9, 3^{3}=27, 3^{4}=81 e 3^{5}=243, obtemos
a_{6}=2\cdot 243=486.

Passo 7

(Verificação rápida) Podemos checar que com a_{1}=2 e r=3:
a_{2}+a_{4}=2\cdot 3 + 2\cdot 3^{3}=6+54=60,
a_{3}+a_{5}=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{4}=18+162=180,
as igualdades do enunciado são satisfeitas, logo o resultado está coerente.

Resposta

a_{6}=486

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