Questão 32. Uma P.G é tal que
e
. Determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
de uma progressão geométrica (P.G.) cuja informação disponível é:
-
. -
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Existem termos
de uma P.G. desconhecida; o que se quer é o valor de . - Os dois valores numéricos fornecidos são as somas dos termos indicados.
Passo 2
Vamos introduzir as incógnitas padrão de uma P.G.:
- Seja
a razão inicial (primeiro termo) da P.G. e a razão comum. - Na definição de P.G., o
-ésimo termo é dado por
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Explicando devagar: quando temos
; quando
temos
; quando
temos
, e assim por diante.
Explicando devagar: quando
Passo 3
Escrevendo os termos necessários em função de
e
:
Agora substituímos nas somas dadas:
Passo 4
Para encontrar
podemos dividir a segunda equação pela primeira (isso é conveniente porque o fator
vai simplificar). Fazendo a divisão:
No lado esquerdo cancelam
e
(note que
para todo
real, então não estamos dividindo por zero), ficando
Portanto a razão da P.G. é
.
Passo 5
Agora encontramos
usando uma das equações (uso a mais simples:
). Substituindo
:
Calcule passo a passo:
, então
. Logo
Assim
Passo 6
Com
e
calculamos
:
Sabendo que
,
,
e
, obtemos
Passo 7
(Verificação rápida) Podemos checar que com
e
:
as igualdades do enunciado são satisfeitas, logo o resultado está coerente.