Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
(c) lim x +infty(1+3x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+3xr)^x
usando as regras de L’Hospital. O conteúdo envolvido é limite de tipo exponencial, que resolvemos tomando o logaritmo natural e aplicando L’Hospital ao expoente.

Passo 2

Definimos
y = l(1+3xr)^x
e calculamos
ln y = x ln!l(1+3xr)

Passo 3

Para avaliar
limxto+inftyxlnl(1+3/xr), reescrevemos como quociente
limxto+inftylnl(1+3xr)1/x,
que é da forma 0/0. Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
ddxln!l(1+3xr) =11+3/xcdotl(-3x^2r) =-3x^2+3x,
ddxl(1xr) =-1x^2
Logo,
limxto+inftyln(1+3/x)1/x =limxto+infty-3/(x^2+3x)-1/x^2 =limxto+infty3x^2x^2+3x =limxto+infty31+3/x =3
Portanto
limxto+inftyln y = 3.

Passo 4

Se limxto+inftyln y = 3, então
limxto+inftyy =limxto+inftye^ln y =e^3

Resposta

e^3

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