Verifique se os limites existem:
lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 x^3 y(x^2+y^2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
lim(x,y)to(0,0)y^4+3x^2y^2+2x^3y(x^2+y^2)^2
Aqui o conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos diferentes para ver se o valor depende da reta de aproximação.

Passo 2

Considere o caminho genérico y = m,x. Substituindo na expressão do limite, temos
y^4+3x^2y^2+2x^3y(x^2+y^2)^2 = (m^4+3m^2+2m),x^4(1+m^2)^2,x^4 = m^4+3m^2+2m(1+m^2)^2

Passo 3

Escolhendo dois valores de m:
Para m=0 (reta y=0),
m^4+3m^2+2m(1+m^2)^2 g|m=0 =0
Para m=1 (reta y=x),
1^4+3cdot1^2+2cdot1(1+1^2)^2 =1+3+24 =64 =tfrac32

Passo 4

Os dois resultados são diferentes ( 0neqtfrac32), então o valor do limite depende do caminho de aproximação. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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