Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
(l) lim x 0^+(cos 3 x) 1sen x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+(cos3x)^1sin x
Isso é um limite do tipo exponencial, onde a base cos3xto1 e o expoente 1sin xto+infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar logaritmo e aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Seja
y=(cos3x)^1sen x
Então
ln y = ln(cos3x)sen x
Precisamos achar limxto0^+ln y. Se esse limite existir e valer L, então o limite original será e^L.

Passo 3

Observamos que ao fazermos xto0^+ tanto ln(cos3x)toln1=0 quanto sin xto0. Logo na forma
ln(cos3x)sin x
temos uma indeterminação do tipo tfrac00, o que nos permite aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando L’Hospital diferenciando numerador e denominador em relação a x:
ddxl[ln(cos3x)r] =-3sin3xcos3x, ddx[sin x]=cos x
Portanto
limxto0^+ln y =limxto0^+ -3,sin3x/cos3xcos x =-3limxto0^+sin3xcos3x;cos x

Passo 5

Para temos , e . Então

Passo 6

Como limxto0^+ln y=0, concluímos que
limxto0^+y =limxto0^+(cos3x)^1sen x =e^0=1

Resposta

1

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