Questão 31
Enunciado
Em um sítio, o fazendeiro possui:
- 12 vacas
- 8 bois
- 5 novilhas
- 5 cavalos
Ele precisa formar um grupo com 10 animais para um rodeio, com as restrições:
- Pelo menos 3 bois
- Pelo menos 2 vacas
- Pelo menos 2 novilhas
- Pelo menos 3 cavalos
De quantas maneiras diferentes pode escolher esse grupo?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de escolher um grupo de
animais de quatro categorias (vacas, bois, novilhas e cavalos), sujeitas a mínimos em cada categoria. O conteúdo aqui é contagem com restrições, usando variáveis para as quantidades em cada categoria e depois aplicando combinações para selecionar cada subgrupo.
Passo 2
Defina as variáveis:
número de bois,
número de vacas,
número de novilhas,
número de cavalos.
As restrições são
As restrições são
e
Para lidar com os mínimos, faça a troca
onde
. Então
Passo 3
Como
com todas as variáveis não negativas, a única solução é
isto é
Passo 4
Para cada categoria, contamos de quantas formas escolher esses animais no conjunto disponível:
– bois: escolher de
, há
maneiras;
– vacas: escolher de
, há
maneiras;
– novilhas: escolher de
, há
maneiras;
– cavalos: escolher de
, há
maneiras.
– bois: escolher
– vacas: escolher
– novilhas: escolher
– cavalos: escolher
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total é