Questão 31

Enunciado

Em um sítio, o fazendeiro possui:
  • 12 vacas
  • 8 bois
  • 5 novilhas
  • 5 cavalos
Ele precisa formar um grupo com 10 animais para um rodeio, com as restrições:
  • Pelo menos 3 bois
  • Pelo menos 2 vacas
  • Pelo menos 2 novilhas
  • Pelo menos 3 cavalos
De quantas maneiras diferentes pode escolher esse grupo?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher um grupo de 10 animais de quatro categorias (vacas, bois, novilhas e cavalos), sujeitas a mínimos em cada categoria. O conteúdo aqui é contagem com restrições, usando variáveis para as quantidades em cada categoria e depois aplicando combinações para selecionar cada subgrupo.

Passo 2

Defina as variáveis:
b = número de bois, v = número de vacas, n = número de novilhas, c = número de cavalos.
As restrições são
b>=3, v>=2, n>=2, c>=3,
e
b+v+n+c=10
Para lidar com os mínimos, faça a troca
b'=b-3, v'=v-2, n'=n-2, c'=c-3,
onde b',v',n',c'>=0. Então
b'+v'+n'+c'=10-(3+2+2+3)=0

Passo 3

Como b'+v'+n'+c'=0 com todas as variáveis não negativas, a única solução é
b'=v'=n'=c'=0,
isto é
b=3, v=2, n=2, c=3

Passo 4

Para cada categoria, contamos de quantas formas escolher esses animais no conjunto disponível:
– bois: escolher 3 de 8, há binom83 maneiras;
– vacas: escolher 2 de 12, há binom122 maneiras;
– novilhas: escolher 2 de 5, há binom52 maneiras;
– cavalos: escolher 3 de 5, há binom53 maneiras.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total é
binom83times binom122times binom52times binom53 =56times66times10times10=369600

Resposta

369600

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