Questão 33
Enunciado
Considere duas retas paralelas
e
. Sobre a reta
, estão posicionados 5 pontos distintos, e sobre a reta
, estão posicionados 8 pontos distintos.
Sabendo que não há três pontos colineares fora das retas (ou seja, apenas os pontos de cada reta são colineares entre si), responda:
a) Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses 13 pontos?
b) Quantos quadriláteros convexos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses pontos?
Sabendo que não há três pontos colineares fora das retas (ou seja, apenas os pontos de cada reta são colineares entre si), responda:
a) Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses 13 pontos?
b) Quantos quadriláteros convexos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses pontos?
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de pontos sobre retas paralelas
(com
pontos) e
(com
pontos), totalizando
pontos no plano, e afirma que não há três pontos colineares fora dessas retas. Precisamos contar (a) o número de triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses
pontos, e (b) o número de quadriláteros convexos formados por vértices nesses pontos. Usaremos combinatória e subtrairemos os casos degenerados (colineares).
Passo 2
Para formar um triângulo, escolhemos
pontos entre os
, mas devemos excluir as escolhas em que os
caiam todos sobre a mesma reta (pois aí são colineares e não formam triângulo).
O número total de maneiras de escolher pontos é
O número total de maneiras de escolher
O total de escolhas colineares em
é
e em
é
Logo, o número de triângulos é
Passo 3
Calculando cada binomial:
Então o total de triângulos é
Passo 4
Para quadriláteros convexos, precisamos escolher
pontos mas excluir os casos que não geram quadrilátero convexo:
- Os
todos em ou todos em são degenerados. - Escolhas com
pontos em uma reta e na outra caem num caso em que os colineares formam uma aresta, e o quarto ponto fica “por cima” dessa aresta, gerando apenas triângulo como envoltória (não dá quadrilátero).
A única forma de obter um quadrilátero convexo é pegar exatamentepontos em e em , que formam um trapézio convexo. O número de escolhas é
Passo 5
Calculando
logo o total de quadriláteros convexos é
Resposta
(a)
(b)
(b)