Questão 33

Enunciado

Considere duas retas paralelas R e R^prime. Sobre a reta R, estão posicionados 5 pontos distintos, e sobre a reta R^prime, estão posicionados 8 pontos distintos.
Sabendo que não há três pontos colineares fora das retas (ou seja, apenas os pontos de cada reta são colineares entre si), responda:
a) Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses 13 pontos?
b) Quantos quadriláteros convexos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre esses pontos?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de pontos sobre retas paralelas R (com 5 pontos) e R' (com 8 pontos), totalizando 13 pontos no plano, e afirma que não há três pontos colineares fora dessas retas. Precisamos contar (a) o número de triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 13 pontos, e (b) o número de quadriláteros convexos formados por vértices nesses pontos. Usaremos combinatória e subtrairemos os casos degenerados (colineares).

Passo 2

Para formar um triângulo, escolhemos 3 pontos entre os 13, mas devemos excluir as escolhas em que os 3 caiam todos sobre a mesma reta (pois aí são colineares e não formam triângulo).
O número total de maneiras de escolher 3 pontos é
binom133
O total de escolhas colineares em R é
binom53,
e em R' é
binom83
Logo, o número de triângulos é
binom133 ;-; binom53 ;-; binom83

Passo 3

Calculando cada binomial:
binom133 = 286, binom53 = 10, binom83 = 56
Então o total de triângulos é
286 - 10 - 56 = 220

Passo 4

Para quadriláteros convexos, precisamos escolher 4 pontos mas excluir os casos que não geram quadrilátero convexo:
  • Os 4 todos em R ou todos em R' são degenerados.
  • Escolhas com 3 pontos em uma reta e 1 na outra caem num caso em que os 3 colineares formam uma aresta, e o quarto ponto fica “por cima” dessa aresta, gerando apenas triângulo como envoltória (não dá quadrilátero).
    A única forma de obter um quadrilátero convexo é pegar exatamente 2 pontos em R e 2 em R', que formam um trapézio convexo. O número de escolhas é
binom52,binom82

Passo 5

Calculando
binom52 = 10, binom82 = 28,
logo o total de quadriláteros convexos é
10 times 28 = 280

Resposta

(a) 220
(b) 280

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