Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir. N=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para usar o Método de Gauss-Jordan e encontrar a inversa da matriz N, caso ela exista. A matriz dada é
O que devemos fornecer como resposta é a matriz N^{-1} tal que
N\,N^{-1}=N^{-1}N=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Vou aplicar o Método de Gauss-Jordan passo a passo para transformar N na identidade, usando operações elementares de linha, e ao mesmo tempo transformar I_3 na inversa N^{-1}.]
Passo 2
Rápida revisão do Método de Gauss-Jordan (mini-aula):
A ideia é montar a matriz aumentada \bigl[N\mid I_3\bigr].
Usam-se operações elementares de linha (válidas porque mudam linhas sem alterar a solução do sistema equivalente):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Objetivo: transformar o bloco da esquerda em I_3. Quando isso for alcançado, o bloco da direita será N^{-1}.
“Pivô” é o elemento que usamos para zerar os outros elementos da sua coluna. Queremos pivôs iguais a 1 nas posições diagonais e zeros nas outras entradas da coluna.
Agora aplico o método ao caso concreto.
Passo 3
Formo a matriz aumentada inicial \bigl[N\mid I_3\bigr]:
Dica para conferir rapidinho na prova: multiplicar N por N^{-1} e verificar que o produto é I_3. Se quiser, ao multiplicar uma coluna da inversa pelas linhas de N obtém-se as colunas da identidade.]