Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
N=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método de Gauss-Jordan e encontrar a inversa da matriz N, caso ela exista. A matriz dada é
N=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O que devemos fornecer como resposta é a matriz N^{-1} tal que
N\,N^{-1}=N^{-1}N=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Vou aplicar o Método de Gauss-Jordan passo a passo para transformar N na identidade, usando operações elementares de linha, e ao mesmo tempo transformar I_3 na inversa N^{-1}.]

Passo 2

Rápida revisão do Método de Gauss-Jordan (mini-aula):
  • A ideia é montar a matriz aumentada \bigl[N\mid I_3\bigr].
  • Usam-se operações elementares de linha (válidas porque mudam linhas sem alterar a solução do sistema equivalente):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Objetivo: transformar o bloco da esquerda em I_3. Quando isso for alcançado, o bloco da direita será N^{-1}.
  • “Pivô” é o elemento que usamos para zerar os outros elementos da sua coluna. Queremos pivôs iguais a 1 nas posições diagonais e zeros nas outras entradas da coluna.
Agora aplico o método ao caso concreto.

Passo 3

Formo a matriz aumentada inicial \bigl[N\mid I_3\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira operação: eliminar o 1 na posição (3,1) usando a linha 1 como pivô.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: subtrair a primeira linha da terceira zera a entrada (3,1).]

Passo 5

Agora quero zerar a entrada (3,2). Uso a linha 2 como pivô na coluna 2.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Agora a terceira linha tem apenas a coluna 3 não nula no bloco esquerdo, o que facilita obter o pivô na posição (3,3).]

Passo 6

Normalizar o pivô da terceira linha: dividir R_3 por -2 para obter pivô 1.
Faço R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_3. Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Comentário: agora a coluna 3 tem pivô 1 na linha 3; usaremos essa linha para zerar as outras entradas da coluna 3.]

Passo 7

Zerar as entradas acima do pivô da coluna 3.
  • Para a linha 1: R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
  • Para a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Computando:
  • R_1 original (1,0,1\mid 1,0,0) menos R_3 (0,0,1\mid \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2})
    (1,0,0\mid \tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
  • R_2 original (0,1,1\mid 0,1,0) menos R_3
    (0,1,0\mid -\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
Após essas operações a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Neste ponto o bloco esquerdo é exatamente I_3, portanto o bloco direito é a inversa procurada.]

Passo 8

Apresento a inversa obtida extraída do bloco direito da matriz aumentada:
N^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Dica para conferir rapidinho na prova: multiplicar N por N^{-1} e verificar que o produto é I_3. Se quiser, ao multiplicar uma coluna da inversa pelas linhas de N obtém-se as colunas da identidade.]

Resposta

N^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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