Questão 31. Use o Método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz dada, se essa
inversa existir.
E=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
E=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar a inversa dessa matriz usando o Método de Gauss-Jordan, caso a inversa exista.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz E é quadrada de ordem 3.
  • O que se pede: calcular E^{-1} (ou declarar que não existe, se for o caso).
  • Método exigido: Método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar [E \mid I] em [I \mid E^{-1}] por operações elementares de linha).]

Passo 2

Breve explicação do Método de Gauss-Jordan (passo-a-passo conceitual, para não ficar perdido):
  • Formar a matriz aumentada [E \mid I], onde I é a matriz identidade de mesma ordem.
  • Aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para reduzir a parte esquerda (a original E) até a forma identidade.
  • Se for possível obter a identidade à esquerda, a parte direita resultante será E^{-1}.
  • Se em algum passo a pivotagem exigir divisão por zero (isto é, pivot nulo e não puder ser trocado por outra linha com pivot não nulo), então E não é invertível.
Começamos mostrando a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Objetivo agora: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar o pivô \,1 na posição (1,1)).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo componente a componente:
  • Parte esquerda: (2,1,2) - 2(1,2,0) = (0,-3,2).
  • Parte direita: (0,1,0) - 2(1,0,0) = (-2,1,0).
Linha R_3 permanece igual porque já tem zero na primeira coluna.
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora trabalhar o pivô da segunda linha, coluna 2. O elemento pivot atual é -3 (na posição (2,2)), que é diferente de zero, então podemos normalizá-lo para 1 dividindo a linha por -3.
Fazer R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-3}R_2. Cálculos:
  • Parte esquerda: (0,-3,2)\cdot\dfrac{1}{-3} = (0,1,-\tfrac{2}{3}).
  • Parte direita: (-2,1,0)\cdot\dfrac{1}{-3} = \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},0\bigr).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Usar o pivô 1 em (2,2) para zerar as entradas acima e abaixo na coluna 2.
Primeiro R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2. Cálculo:
  • Parte esquerda: (1,2,0) - 2(0,1,-\tfrac{2}{3}) = (1,0,\tfrac{4}{3}).
  • Parte direita: (1,0,0) - 2(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3},0) = \bigl(1-\tfrac{4}{3},\,0+\tfrac{2}{3},\,0\bigr) = \bigl(-\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, 0\bigr).
Depois R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Cálculo:
  • Parte esquerda: (0,2,1) - 2(0,1,-\tfrac{2}{3}) = (0,0,1+\tfrac{4}{3}) = (0,0,\tfrac{7}{3}).
  • Parte direita: (0,0,1) - 2(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3},0) = \bigl( -\tfrac{4}{3}, \tfrac{2}{3}, 1\bigr).
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3} & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora pivot na terceira linha, coluna 3 é \tfrac{7}{3}, diferente de zero. Normalizar para 1 dividindo R_3 por \tfrac{7}{3} (ou multiplicando por \tfrac{3}{7}).
Fazer R_3 \leftarrow \dfrac{3}{7}R_3. Cálculos:
  • Parte esquerda: (0,0,\tfrac{7}{3})\cdot\dfrac{3}{7} = (0,0,1).
  • Parte direita: \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3},1\bigr)\cdot\dfrac{3}{7} = \bigl(-\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7}\bigr).
A matriz aumentada passa a:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{7} & \tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} \end{array}\right]]

Passo 7

Usar o pivô 1 em (3,3) para zerar as entradas acima na coluna 3.
Para R_1 (que tem \tfrac{4}{3} na coluna 3), fazer R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{4}{3}R_3. Cálculos da parte direita:
  • Multiplicando \tfrac{4}{3} por R_3 (parte direita) dá \tfrac{4}{3}\bigl(-\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7}\bigr)=\bigl(-\tfrac{16}{21},\tfrac{8}{21},\tfrac{12}{21}\bigr)=\bigl(-\tfrac{16}{21},\tfrac{8}{21},\tfrac{4}{7}\bigr).
  • Subtraindo de \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},0\bigr): primeiro componente -\tfrac{1}{3}-(-\tfrac{16}{21}) = -\tfrac{7}{21}+\tfrac{16}{21} = \tfrac{9}{21} = \tfrac{3}{7}. Segundo componente \tfrac{2}{3}-\tfrac{8}{21} = \tfrac{14}{21}-\tfrac{8}{21} = \tfrac{6}{21} = \tfrac{2}{7}. Terceiro componente 0-\tfrac{4}{7} = -\tfrac{4}{7}.
Portanto R_1 (parte direita) fica \bigl(\tfrac{3}{7},\tfrac{2}{7},-\tfrac{4}{7}\bigr) e parte esquerda fica (1,0,0).
Para R_2 (que tem -\tfrac{2}{3} na coluna 3), fazer R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{2}{3}R_3. Cálculos da parte direita:
  • Multiplicando \tfrac{2}{3} por R_3 (parte direita) dá \tfrac{2}{3}\bigl(-\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7}\bigr)=\bigl(-\tfrac{8}{21},\tfrac{4}{21},\tfrac{6}{21}\bigr)=\bigl(-\tfrac{8}{21},\tfrac{4}{21},\tfrac{2}{7}\bigr).
  • Somando a \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},0\bigr)=\bigl(\tfrac{14}{21},-\tfrac{7}{21},0\bigr) resulta: primeira componente \tfrac{14}{21}-\tfrac{8}{21}=\tfrac{6}{21}=\tfrac{2}{7}. Segunda -\tfrac{7}{21}+\tfrac{4}{21}=-\tfrac{3}{21}=-\tfrac{1}{7}. Terceira 0+\tfrac{2}{7}=\tfrac{2}{7}.
Assim R_2 (parte direita) fica \bigl(\tfrac{2}{7},-\tfrac{1}{7},\tfrac{2}{7}\bigr) e parte esquerda (0,1,0).
Após essas eliminações, a matriz aumentada é exatamente:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{7}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{7} & \tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} \end{array}\right]]

Passo 8

Chegamos à forma [I \mid M], onde M é a matriz à direita. Pelo método de Gauss-Jordan, essa matriz M é a inversa de E. Portanto:
E^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{7}\\[6pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\[6pt] -\tfrac{4}{7} & \tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} \end{pmatrix}.
Dica rápida de conferência (para ficar mais confiante): multiplicar E por E^{-1} deve dar I. Por exemplo, a entrada (1,1) de EE^{-1} é (1,2,0)\cdot(\tfrac{3}{7},\tfrac{2}{7},-\tfrac{4}{7}) = \tfrac{3+4}{7}=1, o que bate; pode checar as demais entradas se quiser.]

Resposta

E^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{7}\\[6pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\[6pt] -\tfrac{4}{7} & \tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} \end{pmatrix}]

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