Questão 33 (IBGE/2016)

Suponha que, por coincidência, as 12 pessoas que estão numa sala de espera, aguardando por uma chamada, nasceram todas no mês de agosto. Então a probabilidade de que não haja sequer uma coincidência entre os dias do mês de nascimento é de:
(A) 31!19!(31)^12;
(B) 31!(31)^12;
(C) 31!12!(31)^12;
(D) 31!19!12!;
(E) 30!12!(30)^12.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos 12 pessoas, todas nascidas em agosto (31 dias). Queremos a probabilidade de NÃO existir nenhum dia de nascimento repetido entre elas.
Conteúdo da matéria: probabilidade clássica e combinatória.
O que vamos precisar:
  • Princípio fundamental da contagem (multiplicar possibilidades).
  • Permutação sem repetição (uso de fatoriais).
  • Dividir “casos favoráveis” pelo “total de casos”.

Passo 2

Total de casos possíveis:
Cada uma das 12 pessoas pode ter nascido em qualquer um dos 31 dias, de forma independente. Então o total de sequências de dias possíveis é
31 times 31 times cdots times 31 ;(12 vezes) ;=;31^12

Passo 3

Casos favoráveis (nenhum dia repetido):
  • Para a 1ª pessoa temos 31 opções.
  • Para a 2ª pessoa, não podemos repetir o dia da 1ª, restam 30 opções.
  • Para a 3ª, restam 29, e assim por diante até a 12ª, que terá 31-(12-1)=20 opções.
    Multiplicando tudo:
31 times 30 times 29 times cdots times 20
Essa sequência de produtos é a permutação de 31 elementos tomados 12 a 12, que chamamos de P(31,12) e vale
P(31,12) ;=;31times30timescdotstimes20 ;=;31!(31-12)! ;=;31!19!

Passo 4

Montando a probabilidade:
Probabilidade ;=;casos favoráveistotal de casos ;=;31!19!31^12 ;=;31!19!,31^12 á

Passo 5

Na lista de alternativas do enunciado, essa expressão corresponde à letra (A).

Resposta

31!19!,31^12 (alternativa A)

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