Questão 35 (ENA-PROFMAT-2011 - discursiva). Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há uma equipe com
jogadoras em campo no primeiro tempo. - No banco há
jogadoras disponíveis para substituição. - No intervalo podem ser feitas até
substituições (ou seja: , , ou substituições). - Pergunta: quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo?
Observações importantes (tiradas do enunciado): cada jogadora é distinta (não são indistinguíveis) e “formação” aqui significa quais são as
jogadoras que começam o segundo tempo (a ordem das jogadoras dentro da formação não importa). A resolução seguirá contando todas as possíveis escolhas de
jogadoras obtidas fazendo
substituições com
.
Passo 2
Estratégia de contagem (idéia combinatória, explicada de leve antes de aplicar):
- Se forem feitas exatamente
substituições, o técnico escolhe das jogadoras que estavam em campo para tirar e escolhe das jogadoras do banco para colocar. - O número de maneiras de escolher
jogadoras entre jogadoras é o coeficiente binomial, denotado por . Para cada escolha das que saem e das que entram obtemos uma formação distinta. - Assim, para um dado
o número de formações possíveis é . - Como
pode ser , somamos esses casos (eles são mutuamente excludentes e cobrem todas as possibilidades permitidas).
Antes de calcular, explico a fórmula do coeficiente binomial:
é o número de subconjuntos de tamanho
que se pode escolher entre
elementos e vale
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Ex.:
.
Passo 3
Calcular termo a termo para cada
:
Caso
(nenhuma substituição):
Caso
(uma substituição): escolher
das
de saída e
das
de entrada:
Caso
(duas substituições): escolher
das
e
das
:
portanto
Caso
(três substituições): escolher
das
e
das
:
logo
Passo 4
Somar todos os casos possíveis (
):
Como verificação rápida de consistência: o número total de formações possíveis escolhendo quaisquer
das
jogadoras seria
. A diferença
corresponde exatamente às formações que exigiriam substituir as
iniciais por incluir as
jogadoras do banco (isto é, substituir
jogadoras), o que não é permitido aqui. Isso confirma que o raciocínio faz sentido.
Resposta
195