Questão 36. Obtenha uma P.G de:
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .
b) três termos tal que sua soma seja \frac{21}{8} e a soma de seus quadrados seja \frac{189}{64}.

Passo 1

Vamos separar o que o enunciado pede e listar os dados que temos.
Para a) o enunciado pede: obter uma progressão geométrica (PG) de quatro termos tal que:
  • a soma dos dois primeiros termos é 12;
  • a soma dos dois últimos termos é 300.
Para b) o enunciado pede: obter uma PG de três termos tal que:
  • a soma dos três termos é \dfrac{21}{8};
  • a soma dos quadrados dos três termos é \dfrac{189}{64}.
Anotações importantes que vou usar:
  • Numa PG de razão r e primeiro termo a, os termos são, em ordem: a,\;ar,\;ar^2,\;ar^3,\dots.
  • Em qualquer passo, sempre que eu usar um dado do enunciado, direi explicitamente de onde veio.

Passo 2

Resolução de (a): modelagem inicial e ideia.
Se os quatro termos formam uma PG com primeiro termo a e razão r, então os termos são
a,\;ar,\;ar^{2},\;ar^{3}.
As condições dadas são:
\text{(i) } a+ar=12, \qquad \text{(ii) } ar^{2}+ar^{3}=300.
Vou escrever cada soma de forma fatorada para simplificar a comparação:
a(1+r)=12, \qquad ar^{2}(1+r)=300.

Passo 3

Eliminação de a para encontrar r.
Como ambas as equações têm o fator (1+r), e assumindo (1+r)\neq0 (vamos considerar o caso (1+r)=0 depois, se necessário), dividimos a segunda equação pela primeira para eliminar a e (1+r):
\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)}= \frac{300}{12}.
Isso simplifica para
r^{2} = \frac{300}{12} = 25.
Logo
r = \pm 5.
Observação sobre (1+r)=0: se (1+r)=0 então r=-1. Nesse caso da equação (i) teríamos a(0)=12, o que é impossível. Então (1+r)=0 não é compatível com os dados, e a divisão efetuada foi válida.

Passo 4

Encontrar a e os termos para cada valor de r.
Usamos a equação a(1+r)=12 para obter a.
  • Se r=5, então
a(1+5)=a\cdot6=12 \quad\Rightarrow\quad a=2.
Os quatro termos são
2,\;2\cdot5=10,\;2\cdot5^{2}=50,\;2\cdot5^{3}=250.
  • Se r=-5, então
a(1-5)=a(-4)=12 \quad\Rightarrow\quad a=-3.
Os quatro termos são
-3,\;-3\cdot(-5)=15,\;-3\cdot(-5)^{2}=-75,\;-3\cdot(-5)^{3}=375.
Ambas as soluções satisfazem as condições do enunciado (pode-se checar somas: 2+10=12, 50+250=300; e -3+15=12, -75+375=300).

Passo 5

Breve aula sobre o raciocínio usado em (a)
  • Modelagem: em PG com primeiro termo a e razão r, escrevemos sequências como a,ar,ar^{2},\dots. Essa é a forma padrão e nos permite expressar somas facilmente em termos de a e r.
  • Técnica: quando aparecem duas equações que compartilham fatores comuns (aqui o fator (1+r)), dividir uma pela outra é uma técnica poderosa para eliminar incógnitas e achar r. Sempre confira se a divisão é válida (não divide por zero).
  • Depois de achar r, volte à equação mais simples para achar a.

Passo 6

Resolução de (b): modelagem inicial.
Se os três termos formam uma PG com primeiro termo a e razão r, então os termos são
a,\;ar,\;ar^{2}.
As duas condições do enunciado são:
\text{(i) } a+ar+ar^{2}=\frac{21}{8}, \qquad \text{(ii) } a^{2}+a^{2}r^{2}+a^{2}r^{4}=\frac{189}{64}.
Coloco em forma fatorada:
a(1+r+r^{2})=\frac{21}{8}, \qquad a^{2}(1+r^{2}+r^{4})=\frac{189}{64}.

Passo 7

Eliminar a usando quociente das duas condições.
Uma estratégia útil é dividir a equação (ii) por o quadrado da equação (i), assim eliminamos a completamente e obtemos uma equação só em r.
O quadrado da equação (i) é
\bigl(a(1+r+r^{2})\bigr)^{2}=a^{2}(1+r+r^{2})^{2}=\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}.
Agora formamos o quociente \dfrac{\text{(ii)}}{(\text{i})^{2}}:
\frac{a^{2}(1+r^{2}+r^{4})}{a^{2}(1+r+r^{2})^{2}}=\frac{\tfrac{189}{64}}{\tfrac{441}{64}}.
Cancelando a^{2} e os denominadores iguais, obtemos
\frac{1+r^{2}+r^{4}}{(1+r+r^{2})^{2}}=\frac{189}{441}=\frac{189\div21}{441\div21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.

Passo 8

Transformar essa igualdade numa equação polinomial em r.
Multiplicando ambos os lados por (1+r+r^{2})^{2} e por 7, obtemos
7(1+r^{2}+r^{4})=3(1+r+r^{2})^{2}.
Expandindo o lado direito: (1+r+r^{2})^{2}=1+2r+3r^{2}+2r^{3}+r^{4}. Assim
7 + 7r^{2} + 7r^{4} = 3 + 6r + 9r^{2} + 6r^{3} + 3r^{4}.
Colocando tudo no lado esquerdo:
(7-3) + (0-6)r + (7-9)r^{2} + (0-6)r^{3} + (7-3)r^{4} = 0,
ou seja
4 - 6r - 2r^{2} - 6r^{3} + 4r^{4} = 0.
Dividindo por 2 para simplificar:
2r^{4} - 3r^{3} - r^{2} - 3r + 2 = 0.

Passo 9

Fatoração do polinômio quartico usando simetria.
Note que o polinômio é palindrômico (coeficientes simétricos): os coeficientes lidos do termo de maior grau ao termo constante são 2,-3,-1,-3,2, que são simétricos. Isso sugere fatorizar como o produto de dois quadráticos palindrômicos ou do tipo (r^{2}+ar+1)(2r^{2}+br+2). Testando essa forma, ao multiplicar obtemos as condições
b+2a=-3,\qquad ab+4=-1\Rightarrow ab=-5,\qquad 2a+b=-3,
que se reduzem ao sistema com soluções inteiras a=1,\;b=-5. Assim uma fatoração válida é
( r^{2}+r+1 )(2r^{2}-5r+2)=0.

Passo 10

Resolver cada fator.
  • Do fator r^{2}+r+1=0 vêm as raízes complexas \displaystyle r=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}. Essas raízes anulam 1+r+r^{2} (porque 1+r+r^{2}=0 para raízes cúbicas da unidade distintas de 1), o que tornaria a=\dfrac{21/8}{1+r+r^{2}} indefinido. Portanto essas raízes não geram PGs reais com a finito — descartamos para buscar PGs de termos reais.
  • Do fator 2r^{2}-5r+2=0 temos
r=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm3}{4}.
Logo as soluções reais são
r=2\quad\text{ou}\quad r=\frac{1}{2}.

Passo 11

Determinar a e os termos para cada r real.
Usamos a(1+r+r^{2})=\dfrac{21}{8}.
  • Para r=2:
1+r+r^{2}=1+2+4=7, \qquad a=\frac{21/8}{7}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}.
Os três termos são
\frac{3}{8},\;\frac{3}{8}\cdot2=\frac{3}{4},\;\frac{3}{8}\cdot4=\frac{3}{2}.
  • Para r=\dfrac{1}{2}:
1+r+r^{2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}, \qquad a=\frac{21/8}{7/4}=\frac{21}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{3}{2}.
Os três termos são
\frac{3}{2},\;\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4},\;\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}.
Observação: essas duas soluções são a mesma sequência vista em ordens opostas (razão 2 dá termos crescentes, razão 1/2 dá os mesmos termos decrescentes).

Passo 12

Breve aula sobre os passos em (b) e dicas para a prova
  • Técnica útil: quando tiver soma de termos e soma de quadrados de termos de uma PG (ou sequência geométrica), dividir a soma dos quadrados pelo quadrado da soma é uma boa forma de eliminar o parâmetro a e obter uma equação só em r.
  • Reconhecer polinômios palindrômicos: se os coeficientes são simétricos, procurar fatorações do tipo (r^{2}+ar+1)(\alpha r^{2}+br+\alpha) muitas vezes funciona e reduz o trabalho de cálculo.
  • Sempre verificar raízes que façam denominadores zero (aqui 1+r+r^{2}=0 teria dado a indefinido), e descartar soluções complexas se o problema pede termos reais.

Resposta

(a) 2,\;10,\;50,\;250
(a) -3,\;15,\;-75,\;375
(b) \dfrac{3}{8},\;\dfrac{3}{4},\;\dfrac{3}{2}
(b) \dfrac{3}{2},\;\dfrac{3}{4},\;\dfrac{3}{8}

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