Questão 36. Obtenha uma P.G de:
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .
b) três termos tal que sua soma seja
e a soma de seus quadrados seja
.
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .
b) três termos tal que sua soma seja
Passo 1
Vamos separar o que o enunciado pede e listar os dados que temos.
Para a) o enunciado pede: obter uma progressão geométrica (PG) de quatro termos tal que:
- a soma dos dois primeiros termos é
; - a soma dos dois últimos termos é
.
Para b) o enunciado pede: obter uma PG de três termos tal que:
- a soma dos três termos é
; - a soma dos quadrados dos três termos é
.
Anotações importantes que vou usar:
- Numa PG de razão
e primeiro termo , os termos são, em ordem: . - Em qualquer passo, sempre que eu usar um dado do enunciado, direi explicitamente de onde veio.
Passo 2
Resolução de (a): modelagem inicial e ideia.
Se os quatro termos formam uma PG com primeiro termo
e razão
, então os termos são
As condições dadas são:
Vou escrever cada soma de forma fatorada para simplificar a comparação:
Passo 3
Eliminação de
para encontrar
.
Como ambas as equações têm o fator
, e assumindo
(vamos considerar o caso
depois, se necessário), dividimos a segunda equação pela primeira para eliminar
e
:
Isso simplifica para
Logo
Observação sobre
: se
então
. Nesse caso da equação (i) teríamos
, o que é impossível. Então
não é compatível com os dados, e a divisão efetuada foi válida.
Passo 4
Encontrar
e os termos para cada valor de
.
Usamos a equação
para obter
.
- Se
, então
Os quatro termos são
- Se
, então
Os quatro termos são
Ambas as soluções satisfazem as condições do enunciado (pode-se checar somas:
,
; e
,
).
Passo 5
Breve aula sobre o raciocínio usado em (a)
- Modelagem: em PG com primeiro termo
e razão , escrevemos sequências como . Essa é a forma padrão e nos permite expressar somas facilmente em termos de e . - Técnica: quando aparecem duas equações que compartilham fatores comuns (aqui o fator
), dividir uma pela outra é uma técnica poderosa para eliminar incógnitas e achar . Sempre confira se a divisão é válida (não divide por zero). - Depois de achar
, volte à equação mais simples para achar .
Passo 6
Resolução de (b): modelagem inicial.
Se os três termos formam uma PG com primeiro termo
e razão
, então os termos são
As duas condições do enunciado são:
Coloco em forma fatorada:
Passo 7
Eliminar
usando quociente das duas condições.
Uma estratégia útil é dividir a equação (ii) por o quadrado da equação (i), assim eliminamos
completamente e obtemos uma equação só em
.
O quadrado da equação (i) é
Agora formamos o quociente
:
Cancelando
e os denominadores iguais, obtemos
Passo 8
Transformar essa igualdade numa equação polinomial em
.
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos
Expandindo o lado direito:
. Assim
Colocando tudo no lado esquerdo:
ou seja
Dividindo por
para simplificar:
Passo 9
Fatoração do polinômio quartico usando simetria.
Note que o polinômio é palindrômico (coeficientes simétricos): os coeficientes lidos do termo de maior grau ao termo constante são
, que são simétricos. Isso sugere fatorizar como o produto de dois quadráticos palindrômicos ou do tipo
. Testando essa forma, ao multiplicar obtemos as condições
que se reduzem ao sistema com soluções inteiras
. Assim uma fatoração válida é
Passo 10
Resolver cada fator.
-
Do fator
vêm as raízes complexas . Essas raízes anulam (porque para raízes cúbicas da unidade distintas de ), o que tornaria indefinido. Portanto essas raízes não geram PGs reais com finito — descartamos para buscar PGs de termos reais. -
Do fator
temos
Logo as soluções reais são
Passo 11
Determinar
e os termos para cada
real.
Usamos
.
- Para
:
Os três termos são
- Para
:
Os três termos são
Observação: essas duas soluções são a mesma sequência vista em ordens opostas (razão
dá termos crescentes, razão
dá os mesmos termos decrescentes).
Passo 12
Breve aula sobre os passos em (b) e dicas para a prova
- Técnica útil: quando tiver soma de termos e soma de quadrados de termos de uma PG (ou sequência geométrica), dividir a soma dos quadrados pelo quadrado da soma é uma boa forma de eliminar o parâmetro
e obter uma equação só em . - Reconhecer polinômios palindrômicos: se os coeficientes são simétricos, procurar fatorações do tipo
muitas vezes funciona e reduz o trabalho de cálculo. - Sempre verificar raízes que façam denominadores zero (aqui
teria dado indefinido), e descartar soluções complexas se o problema pede termos reais.
Resposta
(a)
(a)
(b)
(b)
(a)
(b)
(b)