Questão 34

Uma onda senoidal viaja ao longo de um sólido de densidade \rho=3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} (atenção nas unidades!). Um ponto de máximo de deslocamento longitudinal viaja 49000m em 10 segundos, e a distância entre dois máximos longitudinais consecutivos é de 10 m .
(a) Determine quantas vezes por segundo cada átomo deste sólido vibra por conta da passagem desta onda.
(b) Determine o módulo de Young deste sólido.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade \rho = 3 g/c m^{3}, o deslocamento de um máximo longitudinal de 49000 m em 10 s e a distância entre máximos \lambda = 10 m. Vamos usar as relações de onda mecânica longitudinal em sólidos:
v = \lambda f
e
v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}},
onde v é a velocidade de propagação, f a frequência e Y o módulo de Young.

Passo 2

Para achar v, calculamos a velocidade média da onda:
v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{49000\text{ m}}{10\text{ s}} = 4900\text{ m/s}.

Passo 3

Da relação
v = \lambda f
isolamos f:
f = \frac{v}{\lambda} = \frac{4900}{10} = 490\text{ Hz}.

Passo 4

Convertendo a densidade para unidades SI:
\rho = 3\text{ g/cm}^3 = 3000\text{ kg/m}^3.
Na propagação de ondas longitudinais:
v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}
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Y = \rho\,v^2.

Passo 5

Substituindo os valores:
Y = 3000 \times (4900)^2 = 3000 \times 2{,}401\times 10^7 = 7{,}203\times 10^{10}\text{ Pa} \approx 7{,}2\times 10^{10}\text{ Pa}.
Em GPa, isso dá Y\approx 72 GPa.

Resposta

(a) Cada átomo vibra com frequência 490 Hz.
(b) O módulo de Young é Y\approx 7{,}2\times 10^{10} Pa (ou 72 GPa).

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