A matriz N é uma matriz diagonal, com entradas diagonais -1, 1 e 1.
O objetivo é calcular a potência N^{101} e, em seguida, o inverso dessa potência.]
Passo 2
Entender como calcular potências de matrizes diagonais. Regra útil (justificarei em seguida): se D é diagonal com entradas diagonais d_1,d_2,d_3, então
para qualquer inteiro k. Explicação curta e intuitiva: a multiplicação de matrizes diagonais reduz-se à multiplicação dos elementos diagonais correspondentes, porque os produtos entre entradas fora da diagonal são zeros. Assim, ao multiplicar D por si mesma k vezes, cada entrada diagonal é elevada a k-ésima potência.]
Portanto, obtemos que N^{101} tem as mesmas entradas diagonais de N. (Como verificação alternativa: N^2=\mathrm{I}, então N^{101}=(N^2)^{50}\,N=\mathrm{I}^{50}N=N.)]
Passo 4
Lembrete sobre inversa de matriz diagonal: uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todas as entradas diagonais forem não nulas. O inverso de uma diagonal \operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3) é \operatorname{diag}(d_1^{-1},d_2^{-1},d_3^{-1}), pois o produto entre elas dá a identidade.
No caso, as entradas diagonais de N^{101} são -1, 1, 1, todas não nulas; portanto N^{101} é invertível.
Passo 5
Calcule os recíprocos das entradas diagonais:
(-1)^{-1}=-1,
1^{-1}=1.
Assim, o inverso de N^{101} é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são esses recíprocos.