Questão 33. Considere a matriz N=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), encontre \left(N^{101}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
N=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar \left(N^{101}\right)^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz N é uma matriz diagonal, com entradas diagonais -1, 1 e 1.
  • O objetivo é calcular a potência N^{101} e, em seguida, o inverso dessa potência.]

Passo 2

Entender como calcular potências de matrizes diagonais. Regra útil (justificarei em seguida): se D é diagonal com entradas diagonais d_1,d_2,d_3, então
D^k=\begin{pmatrix}d_1^k & 0 & 0 \\[4pt] 0 & d_2^k & 0 \\[4pt] 0 & 0 & d_3^k\end{pmatrix}
para qualquer inteiro k. Explicação curta e intuitiva: a multiplicação de matrizes diagonais reduz-se à multiplicação dos elementos diagonais correspondentes, porque os produtos entre entradas fora da diagonal são zeros. Assim, ao multiplicar D por si mesma k vezes, cada entrada diagonal é elevada a k-ésima potência.]

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso N:
N^{101}=\begin{pmatrix}(-1)^{101} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1^{101} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1^{101}\end{pmatrix}.
Calcule as potências escalares:
  • (-1)^{101}=-1 porque 101 é ímpar.
  • 1^{101}=1.
Portanto, obtemos que N^{101} tem as mesmas entradas diagonais de N. (Como verificação alternativa: N^2=\mathrm{I}, então N^{101}=(N^2)^{50}\,N=\mathrm{I}^{50}N=N.)]

Passo 4

Lembrete sobre inversa de matriz diagonal: uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todas as entradas diagonais forem não nulas. O inverso de uma diagonal \operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3) é \operatorname{diag}(d_1^{-1},d_2^{-1},d_3^{-1}), pois o produto entre elas dá a identidade.
No caso, as entradas diagonais de N^{101} são -1, 1, 1, todas não nulas; portanto N^{101} é invertível.

Passo 5

Calcule os recíprocos das entradas diagonais:
  • (-1)^{-1}=-1,
  • 1^{-1}=1.
Assim, o inverso de N^{101} é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são esses recíprocos.

Resposta

\left(N^{101}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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