Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo: \left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 7 \\\\ 1 & 5 & 6\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: usar determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa da matriz
Informações dadas (peguei todos os coeficientes da matriz acima):
Elementos da primeira linha: \,1,\;3,\;0\,.
Elementos da segunda linha: \,1,\;1,\;7\,.
Elementos da terceira linha: \,1,\;5,\;6\,.]
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o determinante de A. Se \det(A)=0 a inversa não existe; se \det(A)\neq0 podemos usar a adjunta.
Explicação curta do cálculo do determinante de uma 3\times3: expandir pela primeira linha é uma forma direta. Para a primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) vale
Conclusão parcial: \det(A)=-26\neq0. Portanto A é invertível e podemos continuar.]
Passo 3
Agora vamos construir a matriz dos cofatores. Vou explicar o que é: o menor M_{ij} é o determinante do 2\times2 que resta ao cortar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
ou seja, aplicamos um sinal alternado (padrão de sinais +, -, + na primeira linha; -, +, - na segunda; +, -, + na terceira).
Calculemos todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} (faço linha a linha, mostrando o cálculo do menor):
Linha 1 (já fiz alguns acima, repito para organizar):
Observação final rápida: para a prova — calcule sempre \det(A) primeiro; se for diferente de 0 siga com menores e cofatores; atenção ao padrão de sinais (+,-,+;\;-,+,-;\;+,-,+) para evitar erros bobos. Respira fundo, siga passo a passo e dá certo 😃]