Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 7 \\\\ 1 & 5 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: usar determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\[4pt]1 & 1 & 7\\[4pt]1 & 5 & 6\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei todos os coeficientes da matriz acima):
  • Elementos da primeira linha: \,1,\;3,\;0\,.
  • Elementos da segunda linha: \,1,\;1,\;7\,.
  • Elementos da terceira linha: \,1,\;5,\;6\,.]

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o determinante de A. Se \det(A)=0 a inversa não existe; se \det(A)\neq0 podemos usar a adjunta.
Explicação curta do cálculo do determinante de uma 3\times3: expandir pela primeira linha é uma forma direta. Para a primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) vale
\det(A)=a_{11}\,M_{11}-a_{12}\,M_{12}+a_{13}\,M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 obtido ao riscar a linha 1 e a coluna j.
Agora aplicando aos números:
  • M_{11} é o determinante de \begin{pmatrix}1 & 7\\[2pt]5 & 6\end{pmatrix}, então
M_{11}=1\cdot6-7\cdot5=6-35=-29.
  • M_{12} é o determinante de \begin{pmatrix}1 & 7\\[2pt]1 & 6\end{pmatrix}, então
M_{12}=1\cdot6-7\cdot1=6-7=-1.
  • M_{13} é o determinante de \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}, então
M_{13}=1\cdot5-1\cdot1=5-1=4.
Substituindo na expansão pela primeira linha ( a_{11}=1,\;a_{12}=3,\;a_{13}=0):
\det(A)=1\cdot(-29)-3\cdot(-1)+0\cdot(4)=-29+3+0=-26.
Conclusão parcial: \det(A)=-26\neq0. Portanto A é invertível e podemos continuar.]

Passo 3

Agora vamos construir a matriz dos cofatores. Vou explicar o que é: o menor M_{ij} é o determinante do 2\times2 que resta ao cortar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
ou seja, aplicamos um sinal alternado (padrão de sinais +, -, + na primeira linha; -, +, - na segunda; +, -, + na terceira).
Calculemos todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} (faço linha a linha, mostrando o cálculo do menor):
Linha 1 (já fiz alguns acima, repito para organizar):
  • M_{11}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 7\\[2pt]5 & 6\end{pmatrix}=-29. Portanto C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot(-29)=-29.
  • M_{12}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 7\\[2pt]1 & 6\end{pmatrix}=-1. Portanto C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-1)=+1.
  • M_{13}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}=4. Portanto C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot4=4.
Linha 2:
  • M_{21}=\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]5 & 6\end{pmatrix}=3\cdot6-0\cdot5=18. Portanto C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot18=-18.
  • M_{22}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-0\cdot1=6. Portanto C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot6=6.
  • M_{23}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-3\cdot1=5-3=2. Portanto C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot2=-2.
Linha 3:
  • M_{31}=\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]1 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-0\cdot1=21. Portanto C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot21=21.
  • M_{32}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 7\end{pmatrix}=1\cdot7-0\cdot1=7. Portanto C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot7=-7.
  • M_{33}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot1=1-3=-2. Portanto C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot(-2)=-2.
Colocando os cofatores numa matriz (matriz dos cofatores, sem transpor ainda):
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -29 & 1 & 4\\[4pt] -18 & 6 & -2\\[4pt] 21 & -7 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz adjunta (também chamada adjugate), \operatorname{adj}(A), é a transposta da matriz dos cofatores. Ou seja,
\operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{T}.
Transpondo a matriz de cofatores obtida:
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -29 & -18 & 21\\[4pt] 1 & 6 & -7\\[4pt] 4 & -2 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Fórmula final para a inversa usando adjunta:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Já calculamos \det(A)=-26. Portanto
A^{-1}=\dfrac{1}{-26} \begin{pmatrix} -29 & -18 & 21\\[4pt] 1 & 6 & -7\\[4pt] 4 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Se quiser simplificar o fator de sinal, multiplicando numerador e denominador por -1, podemos escrever também
A^{-1}=\dfrac{1}{26} \begin{pmatrix} 29 & 18 & -21\\[4pt] -1 & -6 & 7\\[4pt] -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Observação final rápida: para a prova — calcule sempre \det(A) primeiro; se for diferente de 0 siga com menores e cofatores; atenção ao padrão de sinais (+,-,+;\;-,+,-;\;+,-,+) para evitar erros bobos. Respira fundo, siga passo a passo e dá certo 😃]

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{29}{26} & \dfrac{9}{13} & -\dfrac{21}{26}\\[6pt] -\dfrac{1}{26} & -\dfrac{3}{13} & \dfrac{7}{26}\\[6pt] -\dfrac{2}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{1}{13} \end{pmatrix}]

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