Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo: \left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 5 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz usando determinantes e a matriz adjunta (adjugata). A matriz dada é
Como \det(A)=-5\neq 0, a matriz é invertível e podemos prosseguir.]
Passo 4
Agora vamos calcular a matriz dos cofatores. Para cada entrada a_{ij} calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j) e o cofator
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Vou calcular M_{ij} e C_{ij} um a um de forma explícita.
Passo 5
Cálculo dos menores e cofatores:
Para C_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 dá a submatriz \begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{11}=0\cdot 1 - 2\cdot 1=-2,
portanto
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-1)^{2}(-2)=-2.
Para C_{12}: submatriz \begin{pmatrix}5 & 2\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{12}=5\cdot 1 - 2\cdot 2=5-4=1,
portanto
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=(-1)^{3}\cdot 1=-1.
Para C_{13}: submatriz \begin{pmatrix}5 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{13}=5\cdot 1 - 0\cdot 2=5,
portanto
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=(-1)^{4}\cdot 5=5.
Para C_{21}: submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{21}=1\cdot 1 - 0\cdot 1=1,
portanto
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=(-1)^{3}\cdot 1=-1.
Para C_{22}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{22}=2\cdot 1 - 0\cdot 2=2,
portanto
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=(-1)^{4}\cdot 2=2.
Para C_{23}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{23}=2\cdot 1 - 1\cdot 2=0,
portanto
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-0=0.
Para C_{31}: submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}. O menor é
M_{31}=1\cdot 2 - 0\cdot 0=2,
portanto
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=(-1)^{4}\cdot 2=2.
Para C_{32}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]5 & 2\end{pmatrix}. O menor é
M_{32}=2\cdot 2 - 0\cdot 5=4,
portanto
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=(-1)^{5}\cdot 4=-4.
Para C_{33}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]5 & 0\end{pmatrix}. O menor é
M_{33}=2\cdot 0 - 1\cdot 5=-5,
portanto
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=(-1)^{6}\cdot(-5)=-5.]
Passo 6
A matriz dos cofatores C (colocando C_{ij} na posição i,j) é
Verificação rápida (produto A\cdot A^{-1}): multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Por exemplo, a primeira linha de A vezes a primeira coluna de A^{-1} dá