Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 5 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz usando determinantes e a matriz adjunta (adjugata). A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\[4pt] 5 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: todos os elementos da matriz A (listados acima). O objetivo é calcular A^{-1} seguindo a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.]

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante \det(A). Para uma matriz 3\times3 é prático usar a regra de Sarrus. Se A=(a_{ij}), então
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui a_{11}=2, a_{12}=1, a_{13}=0, a_{21}=5, a_{22}=0, a_{23}=2, a_{31}=2, a_{32}=1, a_{33}=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Sarrus:
\begin{aligned} \det(A)&=2\cdot 0\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 2 + 0\cdot 5\cdot 1 \\\ &\quad -\bigl(0\cdot 0\cdot 2 + 2\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 5\cdot 1\bigr)\\[4pt] &=0 + 4 + 0 -(0+4+5)\\[4pt] &=4-9=-5. \end{aligned}
Como \det(A)=-5\neq 0, a matriz é invertível e podemos prosseguir.]

Passo 4

Agora vamos calcular a matriz dos cofatores. Para cada entrada a_{ij} calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j) e o cofator
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Vou calcular M_{ij} e C_{ij} um a um de forma explícita.

Passo 5

Cálculo dos menores e cofatores:
  • Para C_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 dá a submatriz \begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{11}=0\cdot 1 - 2\cdot 1=-2,
portanto
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-1)^{2}(-2)=-2.
  • Para C_{12}: submatriz \begin{pmatrix}5 & 2\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{12}=5\cdot 1 - 2\cdot 2=5-4=1,
portanto
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=(-1)^{3}\cdot 1=-1.
  • Para C_{13}: submatriz \begin{pmatrix}5 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{13}=5\cdot 1 - 0\cdot 2=5,
portanto
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=(-1)^{4}\cdot 5=5.
  • Para C_{21}: submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{21}=1\cdot 1 - 0\cdot 1=1,
portanto
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=(-1)^{3}\cdot 1=-1.
  • Para C_{22}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{22}=2\cdot 1 - 0\cdot 2=2,
portanto
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=(-1)^{4}\cdot 2=2.
  • Para C_{23}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}. O menor é
M_{23}=2\cdot 1 - 1\cdot 2=0,
portanto
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-0=0.
  • Para C_{31}: submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}. O menor é
M_{31}=1\cdot 2 - 0\cdot 0=2,
portanto
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=(-1)^{4}\cdot 2=2.
  • Para C_{32}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]5 & 2\end{pmatrix}. O menor é
M_{32}=2\cdot 2 - 0\cdot 5=4,
portanto
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=(-1)^{5}\cdot 4=-4.
  • Para C_{33}: submatriz \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]5 & 0\end{pmatrix}. O menor é
M_{33}=2\cdot 0 - 1\cdot 5=-5,
portanto
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=(-1)^{6}\cdot(-5)=-5.]

Passo 6

A matriz dos cofatores C (colocando C_{ij} na posição i,j) é
C=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 5\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -4 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A adjunta (adjugata) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Aplicando a fórmula A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) com \det(A)=-5, obtemos
A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] 5 & 0 & -5 \end{pmatrix} = -\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Multiplicando escalarmente e simplificando cada entrada:
A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\[6pt] \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{4}{5}\\[6pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação rápida (produto A\cdot A^{-1}): multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Por exemplo, a primeira linha de A vezes a primeira coluna de A^{-1}
2\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{1}{5}+0\cdot(-1)=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1,
e verificando todas as entradas obtemos
A\cdot A^{-1}=I_3.
Isso confirma que a matriz encontrada é de fato a inversa.

Resposta

\begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{2}{5} \\[6pt] \dfrac{1}{5} & -\dfrac{2}{5} & \dfrac{4}{5} \\[6pt] -1 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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