Seja A uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais tal que:
A^{2}=3 I_{n}, encontre A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n com entradas reais que satisfaz
A^{2}=3I_{n},
onde I_{n} é a matriz identidade de ordem n. A pergunta é: encontrar A^{-1}, ou seja, a matriz inversa de A (a matriz que, multiplicada por A, produz I_{n}).

Passo 2

Lembrete rápido sobre inversa de matriz: uma matriz quadrada B é inversa de A quando valem simultaneamente
A B = I_{n}\qquad\text{e}\qquad B A = I_{n}.
Se encontrarmos uma matriz B que satisfaça essas duas igualdades, então B=A^{-1}. A inversa, quando existe, é única.

Passo 3

Usando a relação dada A^{2}=3I_{n}, vamos manipular algebricamente buscando uma candidata a inversa. Multiplique a igualdade A^{2}=3I_{n} pelo escalar \dfrac{1}{3}; obtemos
\frac{1}{3}A^{2}=I_{n}.

Passo 4

Reescrevendo \dfrac{1}{3}A^{2} como A\cdot\left(\dfrac{1}{3}A\right), fica claro que
A\cdot\left(\frac{1}{3}A\right)=I_{n}.
Isto mostra que \dfrac{1}{3}A é um inverso à direita de A.

Passo 5

De forma análoga, escrevendo \dfrac{1}{3}A^{2} como \left(\dfrac{1}{3}A\right)\cdot A, vemos também que
\left(\frac{1}{3}A\right)\cdot A=I_{n},
ou seja, \dfrac{1}{3}A é inverso à esquerda de A.

Passo 6

Como \dfrac{1}{3}A é simultaneamente inverso à esquerda e à direita, é a inversa de A. Portanto
A^{-1}=\frac{1}{3}A.

Passo 7

Observação extra (para consolidar): tomando determinantes em A^{2}=3I_{n} obtém-se \det(A)^{2}=3^{n}, logo \det(A)\neq0, o que confirma que A é invertível. Mas a demonstração direta acima já fornece a inversa explicitamente.

Resposta

A^{-1}=\dfrac{1}{3}A

Exercícios relacionados