Seja
uma matriz quadrada de ordem
com entradas reais tal que:
, encontre
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
com entradas reais que satisfaz
onde
é a matriz identidade de ordem
. A pergunta é: encontrar
, ou seja, a matriz inversa de
(a matriz que, multiplicada por
, produz
).
Passo 2
Lembrete rápido sobre inversa de matriz: uma matriz quadrada
é inversa de
quando valem simultaneamente
Se encontrarmos uma matriz
que satisfaça essas duas igualdades, então
. A inversa, quando existe, é única.
Passo 3
Usando a relação dada
, vamos manipular algebricamente buscando uma candidata a inversa. Multiplique a igualdade
pelo escalar
; obtemos
Passo 4
Reescrevendo
como
, fica claro que
Isto mostra que
é um inverso à direita de
.
Passo 5
De forma análoga, escrevendo
como
, vemos também que
ou seja,
é inverso à esquerda de
.
Passo 6
Como
é simultaneamente inverso à esquerda e à direita, é a inversa de
. Portanto
Passo 7
Observação extra (para consolidar): tomando determinantes em
obtém-se
, logo
, o que confirma que
é invertível. Mas a demonstração direta acima já fornece a inversa explicitamente.