Seja A uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais tal que:
A^{2}=5 I_{n}, encontre \left(A-2 I_{n}\right)^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Foi dada uma matriz quadrada A de ordem n com entradas reais.
  • A condição é \,A^{2}=5 I_{n}\,, onde I_{n} é a matriz identidade de ordem n.
  • O que se pede: encontrar a matriz inversa de \,A-2 I_{n}\,, ou seja, determinar \left(A-2 I_{n}\right)^{-1}.

Passo 2

Por que \,A-2I_{n}\, é invertível (intuição importante antes de tentar achar a inversa):
  • Se \lambda é um autovalor de A, então \lambda^{2} é um autovalor de A^{2}.
  • Da igualdade \,A^{2}=5I_{n}\, segue que todos os autovalores \lambda de A satisfazem \lambda^{2}=5, ou seja \lambda=\pm\sqrt{5}.
  • Como 2\neq\pm\sqrt{5}, nenhum autovalor de A é igual a 2. Logo 0 não é autovalor de A-2I_{n}, o que garante que A-2I_{n} é invertível.
  • Conclusão: a inversa existe e podemos procurá‑la.

Passo 3

Estratégia para encontrar a inversa (ideia prática e simples):
  • A relação \,A^{2}=5I_{n}\, é um polinômio satisfeito por A. Isso implica que qualquer potência de A pode ser reduzida a uma combinação linear de I_{n} e A.
  • Portanto é natural procurar a inversa de \,A-2I_{n}\, na forma de uma combinação linear simples
\alpha A + \beta I_{n},
onde \alpha e \beta são escalares reais que vamos determinar. Esta busca é prática porque a álgebra envolverá só A^{2}, que já conhecemos.

Passo 4

Escrever a equação que define \alpha e \beta:
  • Queremos (A-2I_{n})(\alpha A+\beta I_{n})=I_{n}.
  • Expandindo o produto:
(A-2I_{n})(\alpha A+\beta I_{n})=\alpha A^{2}+(\beta-2\alpha)A-2\beta I_{n}.
  • Substituindo \,A^{2}=5I_{n}\, obtemos
\alpha\cdot 5I_{n}+(\beta-2\alpha)A-2\beta I_{n}=(5\alpha-2\beta)I_{n}+(\beta-2\alpha)A.
  • Para que isso seja igual a I_{n} é necessário e suficiente que os coeficientes das matrizes independentes I_{n} e A satisfaçam o sistema linear em \alpha,\beta:
\begin{cases} 5\alpha-2\beta=1,\\[4pt] \beta-2\alpha=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para \alpha e \beta:
  • Da segunda equação vem \beta=2\alpha.
  • Substituindo na primeira:
5\alpha-2(2\alpha)=1 \quad\Rightarrow\quad 5\alpha-4\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=1.
  • Assim \beta=2\alpha=2.

Passo 6

Construir a candidata à inversa e verificar:
  • A candidata encontrada é \alpha A+\beta I_{n}=1\cdot A + 2 I_{n}=A+2I_{n}.
  • Verificação direta (multiplicação): calcular
(A-2I_{n})(A+2I_{n})=A^{2}+2A-2A-4I_{n}=A^{2}-4I_{n}.
  • Usando \,A^{2}=5I_{n}\,
A^{2}-4I_{n}=5I_{n}-4I_{n}=I_{n}.
  • O mesmo produto do outro lado também funciona:
(A+2I_{n})(A-2I_{n})=A^{2}-4I_{n}=I_{n}.
  • Portanto A+2I_{n} é de fato a inversa de A-2I_{n}.

Passo 7

Comentário intuitivo final e incentivo:
  • O que fizemos: usamos a relação simples A^{2}=5I_{n} para restringir as possibilidades e procurar a inversa numa combinação linear de I_{n} e A. Isso é um truque muito útil em provas: quando uma matriz satisfaz um polinômio de baixo grau, inversas de matrizes do tipo A-cI costumam ser polinômios de grau menor em A.
  • Boa notícia: a resposta é simples e elegante, e agora você tem um método que vale para situações parecidas. Força nos estudos — tá indo bem!

Resposta

\left(A-2 I_{n}\right)^{-1}=A+2 I_{n}

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