Seja
uma matriz quadrada de ordem
com entradas reais tal que:
, encontre
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Foi dada uma matriz quadrada
de ordem com entradas reais. - A condição é
, onde é a matriz identidade de ordem . - O que se pede: encontrar a matriz inversa de
, ou seja, determinar .
Passo 2
Por que
é invertível (intuição importante antes de tentar achar a inversa):
- Se
é um autovalor de , então é um autovalor de . - Da igualdade
segue que todos os autovalores de satisfazem , ou seja . - Como
, nenhum autovalor de é igual a . Logo não é autovalor de , o que garante que é invertível. - Conclusão: a inversa existe e podemos procurá‑la.
Passo 3
Estratégia para encontrar a inversa (ideia prática e simples):
- A relação
é um polinômio satisfeito por . Isso implica que qualquer potência de pode ser reduzida a uma combinação linear de e . - Portanto é natural procurar a inversa de
na forma de uma combinação linear simples
onde
e
são escalares reais que vamos determinar. Esta busca é prática porque a álgebra envolverá só
, que já conhecemos.
Passo 4
Escrever a equação que define
e
:
- Queremos
. - Expandindo o produto:
- Substituindo
obtemos
- Para que isso seja igual a
é necessário e suficiente que os coeficientes das matrizes independentes e satisfaçam o sistema linear em :
Passo 5
Resolver o sistema para
e
:
- Da segunda equação vem
. - Substituindo na primeira:
- Assim
.
Passo 6
Construir a candidata à inversa e verificar:
- A candidata encontrada é
. - Verificação direta (multiplicação): calcular
- Usando
dá
- O mesmo produto do outro lado também funciona:
- Portanto
é de fato a inversa de .
Passo 7
Comentário intuitivo final e incentivo:
- O que fizemos: usamos a relação simples
para restringir as possibilidades e procurar a inversa numa combinação linear de e . Isso é um truque muito útil em provas: quando uma matriz satisfaz um polinômio de baixo grau, inversas de matrizes do tipo costumam ser polinômios de grau menor em . - Boa notícia: a resposta é simples e elegante, e agora você tem um método que vale para situações parecidas. Força nos estudos — tá indo bem!