Questão 35

Uma corda homogênea de massa 1 kg e comprimento 3.3 m está suspensa verticalmente. Um pulso de onda é gerado a partir do ponto mais baixo, e se propagam verticalmente para cima até o topo. Levando em consideração que um ponto a uma altura Z em relação ao ponto mais baixo da corda tem que suportar o peso de todo o pedaço suspenso abaixo dele, e que g=9.8 \mathrm{~m} / s^{2}, responda:
a) Num ponto a uma altura z=1.65 \mathrm{~m} em relação ao ponto mais baixo, qual é a tensão da corda?
b) Neste mesmo ponto, qual é a velocidade da pulso?
c) Qual é o tempo total para o pulso percorrer toda a corda, ser refletido no topo, e retornar para o ponto mais baixo?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma corda homogênea com massa M=1\\ \mathrm{kg} e comprimento L=3{,}3\\ \mathrm{m}, suspensa verticalmente. Um pulso parte do ponto mais baixo z=0 e vai até o topo z=L. Como a tensão numa altura z em relação ao ponto mais baixo é o peso da porção de corda abaixo dele, teremos
T(z)=\biggl(\frac{M}{L}\biggr)g\,z.
Para a velocidade da onda usamos
v(z)=\sqrt{\frac{T(z)}{\mu}},
onde \mu=M/L é a densidade linear. Por fim, o tempo de subida até o topo e de volta até o fundo é dado por
t_{\text{total}}=2\int_{0}^{L}\frac{dz}{v(z)}.

Passo 2

Expressão geral da tensão:
\mu=\frac{M}{L}=\frac{1}{3{,}3}\\ \mathrm{kg/m},\quad T(z)=\mu\,g\,z.

Passo 3

Tensão em z=1{,}65\\ \mathrm{m}:
T(1{,}65) =\frac{1}{3{,}3}\times 9{,}8\times 1{,}65 \approx 4{,}90\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Expressão geral da velocidade da onda:
v(z)=\sqrt{\frac{T(z)}{\mu}} =\sqrt{\frac{\mu\,g\,z}{\mu}} =\sqrt{g\,z}.

Passo 5

Velocidade em z=1{,}65\\ \mathrm{m}:
v(1{,}65)=\sqrt{9{,}8\times 1{,}65} \approx \sqrt{16{,}17} \approx 4{,}02\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Tempo total de ida e volta:
t_{\text{total}} =2\int_{0}^{L}\frac{dz}{\sqrt{g\,z}} =\frac{2}{\sqrt{g}}\int_{0}^{L}z^{-\tfrac12}dz =\frac{2}{\sqrt{g}}\bigl[2\sqrt{z}\bigr]_{0}^{L} =\frac{4\sqrt{L}}{\sqrt{g}}.

Passo 7

Cálculo numérico do tempo:
\sqrt{L}=\sqrt{3{,}3}\approx1{,}817,\quad \sqrt{g}=\sqrt{9{,}8}\approx3{,}131,
t_{\text{total}} =\frac{4\times1{,}817}{3{,}131} \approx2{,}32\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) 4{,}90\\ \mathrm{N}
b) 4{,}02\\ \mathrm{m/s}
c) 2{,}32\\ \mathrm{s}

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