Questão 36

Enunciado

Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos ao acaso um número inteiro de 1 até 300 e queremos a probabilidade de ele ser divisível por 3 ou por 5. Vamos usar o princípio da probabilidade clássica (número de casos favoráveis dividido pelo total) e o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos.

Passo 2

Primeiro contamos quantos números de 1 a 300 são divisíveis por 3. Em geral, o número de múltiplos de k até n é lfloor n/krfloor. Aqui
lfloor 300/3rfloor = 100,
portanto há 100 múltiplos de 3.

Passo 3

Em seguida contamos quantos são divisíveis por 5. Analogamente,
lfloor 300/5rfloor = 60,
logo há 60 múltiplos de 5.

Passo 4

Para não contar duas vezes os números divisíveis por ambos ( 3 e 5), achamos quantos são múltiplos de lcm(3,5)=15:
lfloor 300/15rfloor = 20
Esses 20 estão em ambas as coleções.

Passo 5

Aplicando inclusão-exclusão, o total de números divisíveis por 3 ou por 5 é
100 + 60 - 20 = 140

Passo 6

Como há 300 números no total, a probabilidade pedida é
140300
e simplificando por 20 fica
715

Resposta

715

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