As rendas dos indivíduos (em reais) de duas populações ( X e Y ) possuem distribuições do tipo Normal com: X sim N(800 ; 250.000) e Y sim N(1.000 ; 250.000). Escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo de cada população, determine a probabilidade que suas rendas difiram em mais de cem reais.

Passo 1

O enunciado diz que as rendas X e Y são independentes com
X sim N(800;250,000),
Y sim N(1,000;250,000),
e pede a probabilidade de lvert X - Yrvert>100. O conteúdo aqui é que a diferença de duas normais independentes é normal, e vamos precisar encontrar a distribuição de D=X-Y para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Definimos D = X - Y. Como X e Y são independentes, temos
muD = muX - muY = 800 - 1000 = -200,
sigmaD^2 = sigmaX^2 + sigmaY^2 = 250,000 + 250,000 = 500,000
Logo
D sim N(-200;500,000),
e o desvio padrão é sigmaD = raiz500,000approx707,11.

Passo 3

Queremos
Pl(lvert X - Yrvert >100r) = P(D>100)+P(D< -100)

Passo 4

Padronizando D em uma normal padrão Zsim N(0,1):
P(D>100)=Pl(Z>100-(-200)707,11r) = Pl(Z>300707,11r) = P(Z>0,424),
P(D< -100)=Pl(Z<-100-(-200)707,11r) = Pl(Z<100707,11r) = P(Z<0,141)

Passo 5

Pelas tabelas de Z:
P(Z>0,424)=1-Phi(0,424)approx1-0,664=0,336,
P(Z<0,141)=Phi(0,141)approx0,556
Somando as duas caudas:
P(lvert X-Yrvert>100)approx0,336+0,556=0,892

Resposta

A probabilidade de as rendas diferirem em mais de R$ 100 é aproximadamente 0,892.

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