Questão 34 (IBGE/2016)
Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte composição:
Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a:
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D)
;
(E)
.
Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Então, o enunciado fala de três urnas (Urna I: 3B e 4P; Urna II: 5B e 3P; Urna III: 2B e 3P). A gente retira uma bola da Urna III e transfere: se sair branca, vai para a Urna I; se preta, para a Urna II. Depois tira uma bola da urna abastecida. Dado que essa segunda bola saiu branca, queremos a probabilidade de que a primeira tenha sido preta. Isso é um problema de probabilidade condicional e usa o Teorema de Bayes. Vamos precisar das probabilidades de tirar branca/preta da Urna III, das probabilidades de tirar branca na urna de destino e depois aplicar probabilidade total e Bayes.
Passo 2
Definimos os eventos:
B = ‘primeira bola foi preta’,
W = ‘primeira bola foi branca’,
F = ‘bola final foi branca’.
B = ‘primeira bola foi preta’,
W = ‘primeira bola foi branca’,
F = ‘bola final foi branca’.
A probabilidade de tirar preta da Urna III é
e de tirar branca é
.
Se saiu branca e foi para a Urna I, ela passa a ter 4B e 4P, logo
.
Se saiu preta e foi para a Urna II, ela passa a ter 5B e 4P, total 9, então
.
e de tirar branca é
Se saiu branca e foi para a Urna I, ela passa a ter 4B e 4P, logo
Se saiu preta e foi para a Urna II, ela passa a ter 5B e 4P, total 9, então
Passo 3
Agora usamos a regra da probabilidade total para calcular a probabilidade da bola final ser branca:
Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes, que diz:
Substituindo
,
e
, a gente obtém:
Resposta
5/8