Questão 34 (IBGE/2016)

Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte composição:
Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a:
(A) 3 / 5;
(B) 3 / 8;
(C) 5 / 8;
(D) 7 / 15;
(E) 8 / 15.

Passo 1

Então, o enunciado fala de três urnas (Urna I: 3B e 4P; Urna II: 5B e 3P; Urna III: 2B e 3P). A gente retira uma bola da Urna III e transfere: se sair branca, vai para a Urna I; se preta, para a Urna II. Depois tira uma bola da urna abastecida. Dado que essa segunda bola saiu branca, queremos a probabilidade de que a primeira tenha sido preta. Isso é um problema de probabilidade condicional e usa o Teorema de Bayes. Vamos precisar das probabilidades de tirar branca/preta da Urna III, das probabilidades de tirar branca na urna de destino e depois aplicar probabilidade total e Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
B = ‘primeira bola foi preta’,
W = ‘primeira bola foi branca’,
F = ‘bola final foi branca’.
A probabilidade de tirar preta da Urna III é
P(B)=3/5
e de tirar branca é
P(W)=2/5.
Se saiu branca e foi para a Urna I, ela passa a ter 4B e 4P, logo
P(Fmid W)=4/8=1/2.
Se saiu preta e foi para a Urna II, ela passa a ter 5B e 4P, total 9, então
P(Fmid B)=5/9.

Passo 3

Agora usamos a regra da probabilidade total para calcular a probabilidade da bola final ser branca:
P(F)=P(Fmid W),P(W)+P(Fmid B),P(B)
Substituindo os valores:
P(F)=12cdot25+59cdot35=815

Passo 4

Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes, que diz:
P(Bmid F)=P(Fmid B),P(B)P(F)
Substituindo P(Fmid B)=5/9, P(B)=3/5 e P(F)=8/15, a gente obtém:
P(Bmid F)=tfrac13tfrac815

Resposta

5/8

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