(1,5) Recentemente adotei um gato e estou com um pouco de coceira. Fiz um teste para alergia a gatos: o resultado do teste foi positivo. De acordo com o fabricante do teste, ele identifica corretamente indivíduos alérgicos com 80% de acurácia. Para indivíduos não alérgicos, o teste aponta incorretamente alergia em 10 % dos casos falso positivo. Apenas 1 % da população possui alergia a gatos. Qual a chance de eu realmente ter alergia a gatos?

Passo 1

O enunciado apresenta um teste de alergia a gatos com as seguintes informações: sensibilidade de 80 % (identifica corretamente alérgicos), taxa de falso positivo de 10 % (indica alergia em quem não é alérgico) e prevalência de alergia na população de 1 %. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Bayes para inverter condicionalidades e achar P(alérgicomid teste positivo)é.

Passo 2

Definimos os eventos
A=indivíduo é alérgicoíéé e +=teste deu positivo.
As probabilidades conhecidas são
P(A)=0,01, P(overline A)=0,99,
P(+mid A)=0,80, P(+mid overline A)=0,10

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
P(Amid +) =P(+mid A),P(A)P(+mid A),P(A)+P(+mid overline A),P(overline A)

Passo 4

Calculamos numerador e denominador separadamente:
numerador=P(+mid A),P(A)=0,80times0,01=0,008,
denominador=0,008 + P(+mid overline A),P(overline A) =0,008 + 0,10times0,99=0,008 + 0,099=0,107

Passo 5

Logo
P(Amid +)=0,0080,107approx0,0748approx7,48%

Resposta

A chance de você realmente ser alérgico, dado o teste positivo, é de aproximadamente 7,5%.

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