Questão 34: Um dia você captura dez peixes em um lago, marca-os e coloca-os de novo no lago. Dois dias depois você captura vinte peixes no mesmo lago e constata que dois dos peixes haviam sido capturados por você.
(a) Se o lago possui k peixes, qual a probabilidade de, capturando vinte peixes, encontrar dois peixes marcados?
(b) Para qual valor de k essa probabilidade é máxima?

Passo 1

O enunciado nos descreve um experimento de marcação e recaptura de peixes num lago de tamanho desconhecido k. Primeiro são capturados e marcados 10 peixes, depois recapturam-se 20 peixes e observa-se exatamente 2 marcados. O conteúdo usado é a distribuição hipergeométrica para amostras sem reposição.

Passo 2

Seja X o número de peixes marcados na segunda captura de tamanho 20. Então
P(X=2) =binom102,binomk-1020-2binomk20 =binom102,binomk-1018binomk20

Passo 3

Para achar o valor de k que maximiza
f(k)=binom102,binomk-1018binomk20
estudamos o quociente
f(k+1)f(k) =binomk-918/binomk-1018binomk+120/binomk20 =(k-9)/(k-27)(k+1)/(k-19) =(k-9)(k-19)(k-27)(k+1)
Impondo f(k+1)f(k)>=1 resulta
(k-9)(k-19)>=(k-27)(k+1) Longrightarrow k<=99
Assim f(k) cresce para k<=99 e decresce para k>99.

Resposta

(a)
P(X=2) =binom102,binomk-1018binomk20
(b) A probabilidade é máxima quando k=99.

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